Использование термина «простой» сигнал, как радиоимпульс с простой формой огибающей и высокочастотным заполнением колебанием неизменной частоты, является общепринятым. Для простых сигналов произведение ширины спектра А/ на длительность At, т.е. база сигнала Б, равная произведению полосы, занимаемой сигналом на его длительность, представляет собой величину, близкую к «1»:

В частности, прямоугольный импульс с постоянной частотой заполнения относится к классу простых сигналов, так как для него А/*« /х и; At = t b , и, следовательно, выполняется условие (4.11).

Сигналы, для которых произведение их длительности на ширину спектра, г.е. база, значительно превышает единицу (Б >> 1), получили название «сложных» (сигналы сложной формы).

Для увеличения потенциальной точности измерения дальности в радиолокации необходимо использовать сигналы с широким спектром. При ограничении пиковой мощности импульса для сохранения дальности действия РТС целесообразно расширять спектр зондирующего сигнала не за счет его укорочения, а за счет введения внутри- импульсной фазовой или частотной модуляции, т.е. за счет перехода к сложным сигналам.

Радиоимпульс с линейной частотной модуляцией

В радиолокации широко используют линейно-частотно-моду- лированные (ЛЧМ) импульсные сигналы, несущая частота которых может быть представлена в виде:

где/ 0 - начальное значение частоты; Д/д- девиация частоты; т и - длительность импульса. Линейному закону изменения частоты (4.12) соответствует квадратичный закон изменения фазы ЛЧМ-сигнала:

У ЛЧМ-импульса с огибающей прямоугольной формы, представленного на рис. 4.9, комплексная огибающая имеет вид:

Рис. 4.9.

Нормированная функция рассогласования имеет вид:

Эта функция описывает рельеф тела неопределенности прямоугольного ЛЧМ-импульса, сечение которого вертикальной плоскостью Q = 0 - огибающая ЛЧМ-импульса на выходе согласованного фильтра при отсутствии расстройки по частоте. Ее график представлен на рис. 4.10 сплошной линией. Для сравнения прямой линией показана огибающая прямоугольного радиоимпульса с постоянной частотой заполнения и длительностью т н на выходе СФ. Как видно из этого рисунка, при прохождении ЛЧМ-импульса через СФ происходит его сжатие во времени. Если на входе фильтра импульс имел длительность т,„ = т и,то на выходе длительность импульса составляет х ош = т (1 ДО д 2,47г (по уровню 0,5). Тогда коэффициент сжатия

Рис. 4.10.

Коэффициент сжатия прямо пропорционален девиации частоты. Поскольку длительность импульса и девиацию частоты можно задавать независимо друг от друга, удается реализовать большой коэффициент сжатия.

Поскольку ДО л « ДО, ДО - ширина спектра ЛЧМ-импульса, коэффициент сжатия (15.15) оказывается практически равным базе сигнала К с & Б (это распространяется на все сложные сигналы). Сложный сигнал с помощью СФ можно сжать по длительности на величину, равную базе сигнала.

Поясним сжатие ЛЧМ-сигнала в СФ. ЛЧМ-сигналу, изображенному на рис. 4.9, соответствует согласованный фильтр с импульсной харакгеристикой (рис. 4.11). Импульсная харакгеристика огража- ет отклик системы на воздействие дельта-импульса. На выходе фильтра, в соответствии с процедурой свертки воздействия импульсной реакции, вначале появляются составляющие более высокой частоты, а затем более низкой, т.е. составляющие высокой частоты задерживаются в фильтре в меньшей степени, чем низкочастотные. Нижние частоты ЛЧМ-импульса поступают на вход СФ раньше (см. рис. 4.9), но задерживаются они в большей степени; высшие частоты действуют позже, но задерживаются меньше. В результате группы различных частот совмещаются и происходит укорочение импульса.

Рис. 4.11.

В качестве фильтров используются линии задержки (ЛЗ)на поверхностных акустических волнах (ПАВ). На входе и выходе ЛЗ встроено- штыревые преобразователи (ВШП) преобразуют энергию электрического поля в механическую и обратно. Для различных частот различна действующая длина звуконровода и высокочастотные составляющие догоняют низкочастотные. Тем самым реализуется сжатие ЛЧМ-импульсов.

Совместное разрешение ЛЧМ-им- пульсов по времени и частоте осуществить значительно сложнее, чем разрешение тех же импульсов но одному из параметров (при известном значении другого параметра). Это следует из диаграммы неопределенности ЛЧМ-радиоимпульса (рис. 4.12). Рис - 41 2. Диаграмма

^ неопределенности

Совместное разрешение сигналов по вре- ЛЧМ-импульса мени запаздывания и частоте возможно, если их параметры лежат вне выделенной области.

.
Основы цифровой обработки сигнала (ОЦОС).

Преподаватель: Кузнецов Вадим Вадимович

Https://github.com/ra3xdh/DSP-RPD

Https://github.com/ra3xdh/RTUiS-labs

1. 
   Вопрос. Радиотехнические сигналы. Классификация.

Сигналом называют процесс изменения во времени физического состояния какого-либо объекта, который служит для отображения, регистрации и передаче сообщений.

Сигналами могут быть напряжение, ток, напряженность поля. В большинстве случаев носителями радиотехнических сигналов являются электромагнитные колебания. Математической моделью сигнала обычно служит функциональная зависимость аргументом которой является время (зависимость напряжения в цепи от времени). Для детерминированных сигналов на основании математической модели можно узнать мгновенное значение сигнала в любой момент времени. Примером детерминированного сигнала является синусоидальное напряжение, f=50Гц w=314с^-1.

Импульсные сигналы существуют только в пределах конечного отрезка времени. Примеры импульсных сигналов: видеоимпульс (рис. 2а) и радиоимпульс (рис.2б).

Если физический процесс порождающий сигнал развивается во времени таким образом, что его можно измерять в любые моменты времени, то сигналы такого класса называют аналоговым. Аналоговый сигнал можно представить графиком его изменения во времени , то есть осциллограммой.

Дискретные сигналы описываются совокупностью отсчетов через равные промежутки времени. Пример дискретного сигнала показан на рисунке 3.

Цифровые сигналы являются особой разновидностью дискретных. Отсчетные значения представляются в виде чисел. Обычно используются двоичные числа с некоторой размерностью. Пример цифрового сигнала приведен в таблице 1.

Аналоговые сигналы.

Периодический сигнал S(t), период Т обладает следующим свойством: S(t)=S(t±nT) n=1,2,.. Пример периодического сигнала показан на рисунке 4.

Период сигнала связан с частотой f и круговой частотой w следующим соотношением: f=1/T=w/2π. Другие примеры периодических сигналов показаны на рисунке 5.

1. 
   Вопрос. Модулированный сигнал. Основы модуляции.

Для передачи низкочастотным сигналов, например звуковых, по радиоканалу применяются модулированные сигналы. Прямая передача низкочастотного сигнала по радиоканалу невозможна, так как длинна волны для низких частот слишком большая и аппаратура для передачи такой волны будет громоздкой.

В модулированном сигнале амплитуда, частота и фаза синусоидального ВЧ сигнала изменяется в такт с НЧ. НЧ сигнал накладывается на несущий.

1. Амплитудная модуляция (АМ).

S(t) - звуковой сигнал, - РЧ сигнал, несущая, М - коэффициент модуляции.

Пример модулированного сигнала показан на рисунке 6.

2. Частотная модуляция (ЧМ:FM). Амплитуда несущий остается неизменной, а в такт с модулируемым сигналом изменяется частота несущей.

Осциллограмма частотно-модулированного сигнала показана на рисунке 7.

3. Фазовая модуляция (ФМ:PM). . осциллограмма ФМ сигнала показана на рисунке 8.

Во время положительного полупериода фаза модулированные колебания опережают по фазе колебания несущей частоты, при этом период колебаний уменьшается, и частота увеличивается. Во время отрицательного периода модулирующего напряжения фаза модулированного колебания отстает по фазе от колебаний несущей частоты. Таким образом ФМ является одновременно и ЧМ. Для ЧМ справедливо обратное суждение: частотная модуляция является одновременно фазовой модуляцией. ФМ применяется в профессиональной радиосвязи.

Сигма и дельта функции.

Сигма функция задается следующим выражением:

Дельта функция – импульс бесконечно большой амплитуды и бесконечно малой длительности. (рис. 10).

Дельта-функция является производной от сигма-функции.

Если сигнал, задаваемый непрерывной функцией умножить на дельта-функции и проинтегрировать во времени , то результатом будет мгновенное значение сигнала в точке, где сосредоточен дельта-импульс.

Из фильтрующих свойств дельта-функции следует схема измерителя мгновенного значения сигнала.

Сигма и дельта функции применяются для анализа прохождения аналоговой и цифровых сигналов через линейные системы. Отклик системы, ели на нее подан дельта-импульс, называется импульсной характеристикой системы H(t).

1. 
   Вопрос. Мощности и энергии сигнала.

Мощность выделяющаяся на резисторе сопротивлением R, если к нему приложено напряжение u определяется как W=(u^2)/R.

Если к резистору приложено не постоянное напряжение, а переменный сигнал s(t), то мощность так же будет переменной (мгновенная мощность).

В теории сигналов обычно полагают, что R=1. w=s(t) ^2. Чтобы найти энергию сигнала необходимо проинтегрировать мощность по всему диапазону;

Для бесконечных во времени сигналов среднюю мощность можно определить следующим образом:

W=[Вт], E=[(В^2)*c]

Именно такая энергия выделяется на резисторе сопротивлением 1 ом, если к нему приложено напряжение s(t).

Если сигнал излучается на некотором интервале T, то рассматривается средняя мощность сигнала.

Спектральный анализ сигналов.

1. 
   Вопрос. Разложение аналогового сигнала в ряд Фурье.

Разложение в ряд Фурье заключается в представление периодического сигнала в виде суммы синусоидальных сигналов.

Пример представления пилообразного сигнала в виде суммы синусоидальных сигналов с различной амплитудой и фазой представлен на рис. 12.

Введем основную частоту периодического сигнала с периодом T: w_1=2pi/T. Периодический сигнал при разложении в ряд Фурье представляется в виде суммы синусоидальных сигналов или гармоник, с частотами кратными основной частоте: 2w_1, 3w_1... Амплитуды этих сигналов называются коэффициентами разложения. Ряд Фурье записывается в виде суммы гармоник:

Вещественная форма ряда Фурье:

Используя известную форму записи из курса электротехники в виде комплексного числа , ряд Фурье представляется в виде:

В данное выражение входят гармоники с отрицательными частотами. Отрицательная частота – это не физическое понятие, она связана со способом представления комплексных чисел. Так как сумма гармоник должна быть действительным числом, то каждой гармонике соответствует комплексно сопряженная гармоника с –ω. По абсолютному значению амплитуды гармоники с положительными и отрицательными частотами равны.

1. 
   Вопрос. Спектральные диаграммы.

Спектральные диаграммы – графики, изображающие коэффициенты ряда Фурье в вещественной форме.

Различают амплитудные и фазовые спектральные диаграммы. По горизонтальной оси откладывают частоты гармоник, по вертикали – амплитуды (фазы). Если изображен модуль ряда Фурье в комплексной форме, то по оси Х откладывают положительную и отрицательную круговую частоту ω.

Пример спектра аналогового периодического сигнала. (ШИМ)

Рассмотрим последовательность прямоугольных импульсов с периодом Т, длительностью τ и амплитудой А.

Скважность.

Осциллограмма такого сигнала оказана на рисунке 13.

Постоянная составляющая прямоугольного сигнала.

b n = 0.

Спектральная диаграмма для последовательности прямоугольных импульсов показана на рис. 14.

Из спектра диаграммы видно, что с увеличением скважности уменьшается длительность импульса. Последовательность прямоугольных импульсов имеет более богатый спектральный состав, в спектре присутствуют больше гармоник и больше амплитуд. Таким образом, сокращение длительности импульса приводит к расширению спектра. Сигналы с широким спектром могут создавать помехи.

Вычисление ряда Фурье производится с помощью математических пакетов.

Преобразование Фурье.

Применяется для расширения области допустимых сигналов.

Различают прямое и обратное преобразование.

1. 
   Вопрос. Прямое преобразование (переход от сигнала к спектру).

Разложение в ряд Фурье позволяет получить спектр только для периодических сигналов. Преобразование Фурье расширяет область применения спектрального анализа на непериодические сигналы.

Пусть s(t) – одиночный импульсный сигнал конечной длительности. Дополним его таким же, периодически следующим сигналом, с периодом Т. Получим последовательность импульсов (рис.15).

Чтобы перейти к преобразованию Фурье и найти спектр одиночного импульса необходимо найти предельный вид ряда Фурье в комплексной форме при

Расчет спектра:

Физический смыл спектральной плотности состоит в том, что она является коэффициентом пропорциональности между длинной малого интервала частот Δf в близи частоты f 0 и амплитуды гармонического сигнала с частотой f 0 . Сигнал s(t) как бы складывается из множества разных синусоидальных сигналов малой амплитуды. Спектр плотности показывает вклад в сигнал элементарных синусоидальных сигналов каждой частоты.

Спектр плотности вероятности является комплексным числом и отображается кривой на комплексной плоскости.

Действительное число – амплитудный спектр

Спектр мощности

Фазовый спектр

Свойства преобразования Фурье

1. 
   Линейность – спектр суммы нескольких сигналов умножить на постоянные коэффициенты равен сумме этих сигналов. Если амплитуда сигнала меняется в А раз, то его спектральная плотность тоже меняется в А раз.

1. 
   Свойство вещественной и мнимой частей спектра. Вещественная часть спектра, то есть амплитудный спектр – четный функция частоты. Амплитудный спектр симметричен относительно нулевой частоты. Мнимая часть спектра – нечетная функция частоты. Фазовый спектр антисимметричен относительно нулевой частоты.

1. 
   Смещение сигнала во времени. При смещении сигнала во времени амплитудный спектр не меняется, а фазовый спектр смещается по фазе.

Спектр произведения сигналов равен свертке спектров и наоборот.

Свойство применяется для отыскания сигнала на выходе , если известна АЧХ.

Линейная система и сигналы на ее входе и выходе показаны на рисунке 20.

1. 
   Спектр дельта функции.

В спектре дельта-импульса содержатся все частоты от 0 до .

1. 
   Спектр производной и интеграла.

Дифференциация сигналов приведет к расширению спектра, интегрирование – к сжатию (рис.21).

1. 
   Связь с рядами Фурье.

Комплексная амплитуда к-ой гармоники ряда Фурье связана со спектральной плотностью так:

Зная преобразование для одного периода периодического сигнала можно вычислить его разложение в ряд Фурье.

Пример вычисления спектра импульсного сигнала.

Вычислим спектр прямоугольного видео импульса с амплитудой и длительностью . Импульс расположен симметрично относительно начала отсчета (рис. 22).

Переходим от круговой частоты к частоте f.

Амплитудный спектр показан на (рис 23).

Фазовый спектр показан на (рис 24).

Спектр мощности показан на (рис 25).

1. 
   Вопрос. Обратное преобразование Фурье.

Служит для нахождения сигнала по спектру.

Условие существования спектральной плотности сигнала.

Спектральный анализ интегрируемых сигналов.

Сигнал можно сопоставить спектральную плотность если сигнал абсолютно интегрирован.

К абсолютно интегрированному сигналу не относятся гармонические колебания и постоянный ток.

Примеры абсолютно интегрируемых и неинтегрируемых сигналов на (рис. 16).

Спектры таких сигналов представляются через дельта-функции.

Спектр сигнала постоянного уровня А представляет собой дельта-импульс, расположенный на нулевой частоте ().

Физический смысл данного выражения – сигнал, постоянный по модулю и по времени имеет постоянную составляющую только на нулевой частоте.

Спектр синусоидального сигнала.

Любой периодический сигнал можно представить рядом Фурье в комплексной форме, то есть в виде суммы синусоидальных сигналов.

Спектры постоянного тока, синусоидального и периодического сигнала показаны на (рис. 17).

На анализаторе спектра спектр периодического сигнала будет наблюдаться в виде последовательности остроконечных импульсов. Амплитуды данных импульсов пропорциональны амплитудам гармоник. Типичный вид спектра представлен на (рис. 18).

Спектральный анализ можно применять и к случайным сигналам. Для них рассматривается спектр мощности . Для примера рассмотрим белый шум (рис. 1).

Прежде чем приступить к изучению каких – либо явлений, процессов или объектов, в науке всегда стремятся провести их классификацию по возможно большему количеству признаков. Предпримем подобную попытку применительно к радиотехническим сигналам и помехам.

Основные понятия, термины и определения в области радиотехнических сигналов устанавливает государственный стандарт «Сигналы радиотехнические. Термины и определения». Радиотехнические сигналы весьма разнообразны. Их можно классифицировать по целому ряду признаков.

1. Радиотехнические сигналы удобно рассматривать в виде математических функций, заданных во времени и физических координатах. С этой точки зрения сигналы делятся на одномерные и многомерные . На практике наиболее распространены одномерные сигналы. Они обычно являются функциями времени. Многомерные сигналы состоят из множества одномерных сигналов, и кроме того, отражают свое положение в n- мерном пространстве. Например, сигналы, несущие информацию об изображении какого-либо предмета, природы, человека или животного, являются функциями и времени и положения на плоскости.

2. По особенностям структуры временного представления все радиотехнические сигналы подразделяются на аналоговые , дискретные и цифровые . В лекции №1 уже были рассмотрены их основные особенности и отличия друг от друга.

3. По степени наличия априорной информации все многообразие радиотехнических сигналов принято делить на две основные группы: детерминированные (регулярные) и случайные сигналы. Детерминированными называют радиотехнические сигналы, мгновенные значения которых в любой момент времени достоверно известны. Примером детерминированного радиотехнического сигнала может служить гармоническое (синусоидальное) колебание, последовательность или пачка импульсов, форма, амплитуда и временное положение которых заранее известно. По сути дела детерминированный сигнал не несет в себе никакой информации и практически все его параметры можно передать по каналу радиосвязи одним или несколькими кодовыми значениями. Другими словами, детерминированные сигналы (сообщения) по существу не содержат в себе информации, и нет смысла их передавать. Они обычно применяются для испытаний систем связи, радиоканалов или отдельных устройств.

Детерминированные сигналы подразделяются на периодические и непериодические (импульсные ). Импульсный сигнал – это сигнал конечной энергии, существенно отличный от нуля в течение ограниченного интервала времени, соизмеримого со временем завершения переходного процесса в системе, для воздействия на которую этот сигнал предназначен. Периодические сигналы бывают гармоническими , то есть содержащими только одну гармонику, и полигармоническими , спектр которых состоит из множества гармонических составляющих. К гармоническим сигналам относятся сигналы, описываемые функцией синуса или косинуса. Все остальные сигналы называются полигармоническими.

Случайные сигналы – это сигналы, мгновенные значения которых в любые моменты времени неизвестны и не могут быть предсказаны с вероятностью, равной единице. Как ни парадоксально на первый взгляд, но сигналом несущим полезную информацию, может быть только случайный сигнал. Информация в нем заложена во множестве амплитудных, частотных (фазовых) или кодовых изменений передаваемого сигнала. На практике любой радиотехнический сигнал, в котором заложена полезная информация, должен рассматриваться как случайный.

4. В процессе передачи информации сигналы могут быть подвергнуты тому или иному преобразованию. Это обычно отражается в их названии: сигналы модулированные , демодулированные (детектированные ), кодированные (декодированные ), усиленные , задержанные , дискретизированные , квантованные и др.

5. По назначению, которое сигналы имеют в процессе модуляции, их можно разделить на модулирующие (первичный сигнал, который модулирует несущее колебание) или модулируемые (несущее колебание).

6. По принадлежности к тому или иному виду систем передачи информации различают телефонные , телеграфные , радиовещательные , телевизионные , радиолокационные , управляющие , измерительные и другие сигналы.

Рассмотрим теперь классификацию радиотехнических помех. Под радиотехнической помехой понимают случайный сигнал, однородный с полезным и действующий одновременно с ним. Для систем радиосвязи помеха – это любое случайное воздействие на полезный сигнал, ухудшающее верность воспроизведения передаваемых сообщений. Классификация радиотехнических помех возможна также по ряду признаков.

1. По месту возникновения помехи делят на внешние и внутренние . Основные их виды были уже рассмотрены в лекции №1.

2. В зависимости от характера взаимодействия помехи с сигналом различают аддитивные и мультипликативные помехи. Аддитивной называется помеха, которая суммируется с сигналом. Мультипликативной называется помеха, которая перемножается с сигналом. В реальных каналах связи обычно имеют место и аддитивные, и мультипликативные помехи.

3. По основным свойствам аддитивные помехи можно разделить на три класса: сосредоточенные по спектру (узкополосные помехи), импульсные помехи (сосредоточенные во времени) и флуктуационные помехи (флуктуационные шумы), не ограниченные ни во времени, ни по спектру. Сосредоточенными по спектру называют помехи, основная часть мощности которых находится на отдельных участках диапазона частот, меньших полосы пропускания радиотехнической системы. Импульсной помехой называется регулярная или хаотическая последовательность импульсных сигналов, однородных с полезным сигналом. Источниками таких помех являются цифровые и коммутирующие элементы радиотехнических цепей или работающих рядом с ними устройств. Импульсные и сосредоточенные помехи часто называют наводками .

Между сигналом и помехой отсутствует принципиальное различие. Более того, они существуют в единстве, хотя и противоположны по своему действию.

Случайные процессы

Как указывалось выше, отличительная черта случайного сигнала состоит в том, что его мгновенные значения заранее не предсказуемы. Практически все реальные случайные сигналы и помехи представляют собой хаотические функции времени, математическими моделями которых являются случайные процессы, изучаемые в дисциплине статистическая радиотехника. Случайным процессом принято называть случайную функцию аргумента t , где t текущее время. Случайный процесс обозначается прописными буквами греческого алфавита , , . Допустимо и другое обозначение, если оно заранее оговорено. Конкретный вид случайного процесса, который наблюдается во время опыта, например на осциллографе, называется реализацией этого случайного процесса. Вид конкретной реализации x(t) может задаваться определенной функциональной зависимостью аргумента t или графиком.

В зависимости от того, непрерывные или дискретные значения принимают аргумент t и реализация х , различают пять основных видов случайных процессов. Поясним эти виды с указанием примеров.

Непрерывный случайный процесс характеризуется тем, что t и х являются непрерывными величинами (рис. 2.1,а). Таким процессом, например, является шум на выходе радиоприемного устройства.

Дискретный случайный процесс характеризуется тем, что t является непрерывной величиной, а х - дискретной (рис. 2.1,б). Пере­ход от к происходит в любой момент времени. Примером такого процесса является процесс, характеризующий состояние системы массового обслуживания, когда система скачком в произвольные моменты времени t переходит из одного состояния в другое. Другой пример это результат квантования непрерывного процесса только по уровню.

Случайная последовательность характеризуется тем, что t яв­ляется дискретной, а х - непрерывными величинами (рис. 2.1,в). В качестве примера можно указать на временные выборки в конкретные моменты времени из непрерывного процесса.

Дискретная случайная последовательность характеризуется тем, что t и х являются дискретными величинами (рис. 2.1,г). Такой процесс может быть получен в результате квантования по уровню и дискретизации по времени. Такими являются сигналы в цифровых системах связи.

Случайный поток представляет собой последовательность точек, дельта-функций или событий (рис. 2.1, д, ж) в случайные моменты времени. Этот процесс широко применяется в теории надёжности, когда поток неисправностей радиоэлектронной техники рассматривается как случайный процесс.

Вопросы к государственному экзамену

по курсу «Цифровая обработка сигналов и сигнальные процессоры»

(Корнеев Д.А.)

Заочное обучение

Классификация сигналов, энергия и мощность сигналов. Ряды Фурье. Синусно-косинусная форма, вещественная форма, комплексная форма.

КЛАССИФИКАЦИЯ СИГНАЛОВ, ИСПОЛЬЗУЕМЫХ В РАДИОТЕХНИКЕ

С информационной точки зрения сигналы можно разделить на детерминированные и случайные.

Детерминированным называют любой сигнал, мгновенное значение которого в любой момент времени можно предсказать с вероятностью единица. Примерами детерминированных сигналов могут служить импульсы или пачки импульсов, форма, амплитуда и положение во времени которых известны, а также непрерывный сигнал с заданными амплитудными и фазовыми соотношениями внутри его спектра.

К случайным относят сигналы, мгновенные значения которых заранее неизвестны и могут быть предсказаны лишь с некоторой вероятностью, меньшей единицы. Такими сигналами являются, например,электрическое напряжение, соответствующее речи, музыке, последовательности знаков телеграфного кода при передаче неповторяющегося текста. К случайным сигналам относится также последовательность радиоимпульсов на входе радиолокационного приемника, когда амплитуды импульсов и фазы их высокочастотного заполнения флуктуируют из-за изменения условий распространения, положения цели и некоторых других причин. Можно привести большое число других примеров случайных сигналов. По существу, любой сигнал, несущий в себе информацию, должен рассматриваться как случайный.

Перечисленные выше детерминированные сигналы, «полностью известные», информации уже не содержат. В дальнейшем такие сигналы часто будут обозначаться термином колебание.

Наряду с полезными случайными сигналами в теории и практике приходится иметь дело со случайными помехами - шумами. Уровень шумов является основным фактором, ограничивающим скорость передачи информации при заданном сигнале.

Аналоговый сигнал Дискретный сигнал

Квантованный сигнал Цифровой сигнал

Рис. 1.2. Сигналы произвольные по величине и по времени (а), произвольные по величине и дискретные по времени (б), квантованные по величине и непрерывные по времени (в), квантованные по величине и дискретные по времени (г)

Между тем сигналы от источника сообщений могут быть как непрерывные, так и дискретные (цифровые). В связи с этим применяемые в современной радиоэлектронике сигналы можно разделить на следующие классы:

произвольные по величине и непрерывные по времени (рис. 1.2, а);

произвольные по величине и дискретные по времени (рис. 1.2, б);

квантованные по величине и непрерывные по времени (рис. 1.2, в);

квантованные по величине и дискретные по времени (рис. 1.2, г).

Сигналы первого класса (рис. 1.2, а) иногда называют аналоговыми , так как их можно толковать как электрические модели физических величин, или непрерывными, так как они задаются по оси времени на несчетном множестве точек. Такие множества называются континуальными. При этом по оси ординат сигналы могут принимать любое значение в определенном интервале. Поскольку эти сигналы могут иметь разрывы, как на рис. 1.2, а, то, чтобы избежать некорректности при описании, лучше такие сигналы обозначать термином континуальный.

Итак, континуальный сигнал s(t) является функцией непрерывной переменной t, а дискретный сигнал s(х) - функцией дискретной переменной х, принимающей только фиксированные значения . Дискретные сигналы могут создаваться непосредственно источником информации (например, дискретными датчиками в системах управления или телеметрии) или образовываться в результате дискретизации континуальных сигналов.

На рис. 1.2, б представлен сигнал, заданный при дискретных значениях времени t (на счетном множестве точек); величина же сигнала в этих точках может принимать любое значение в определенном интервале по оси ординат (как и на рис. 1.2, а). Таким образом, термин дискретный характеризует не сам сигнал, а способ задания его на временнбй оси.

Сигнал на рис. 1.2, в задан на всей временнбй оси, однако его величина может принимать лишь дискретные значения. В подобных случаях говорят о сигнале, квантованном по уровню.

В дальнейшем термин дискретный будет применяться только по отношению к дискретизации по времени; дискретность же по уровню будет обозначаться термином квантование.

Квантование используют при представлении сигналов в цифровой форме с помощью цифрового кодирования, поскольку уровни можно пронумеровать числами с конечным числом разрядов. Поэтому дискретный по времени и квантованный по уровню сигнал (рис. 1.2, г) в дальнейшем будет называться цифровым.

Таким образом, можно различать континуальные (рис. 1.2, а), дискретные (рис. 1.2, б), квантованные (рис. 1.2, в) и цифровые (рис. 1.2, г) сигналы.

Каждому из этих классов сигналов можно поставить в соответствие аналоговую, дискретную или цифровую цепи. Связь между видом сигнала и видом цепи показана на функциональной схеме (рис. 1.3).

При обработке континуального сигнала с помощью аналоговой цепи не требуется дополнительных преобразований сигнала. При обработке же континуального сигнала с помощью дискретной цепи необходимы два преобразования: дискретизация сигнала по времени на входе дискретной цепи и обратное преобразование, т. е. восстановление континуальной структуры сигнала на выходе дискретной цепи.

Для произвольного сигнала s(t) = a(t)+jb(t) , где а(t) и b(t) - вещественные функции, мгновенная мощность сигнала (плотность распределения энергии) определяется выражением:

w(t) = s(t)s*(t) = a 2 (t)+b 2 (t) = |s(t)| 2 .

Энергия сигнала равна интегралу от мощности по всему интервалу существования сигнала. В пределе:

Е s = w(t)dt = |s(t)| 2 dt.

По существу, мгновенная мощность является плотностью мощности сигнала, так как измерения мощности возможны только через энергию, выделяемую на определенных интервалах ненулевой длины:

w(t) = (1/Dt) |s(t)| 2 dt.

Сигнал s(t) изучается, как правило, на определенном интервале Т (для периодических сигналов - в пределах одного периода Т), при этом средняя мощность сигнала:

W T (t) = (1/T) w(t) dt = (1/T) |s(t)| 2 dt.

Понятие средней мощности может быть распространено и на незатухающие сигналы, энергия которых бесконечно велика. В случае неограниченного интервала Т строго корректное определение средней мощности сигнала производится по формуле:

W s = w(t) dt.

Идея о том, что любая периодическая функция может быть представлена в виде ряда гармонически связанных синусов и косинусов была предложена бароном Жан Батистом Жозефом Фурье (1768−1830).

Ряд Фурье функции f(x) представляется в виде

PAGE 24

РОСТОВСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

СЕРВИСА И ТУРИЗМА

________________________________________________________________

Кафедра Радиоэлектроника

Лазаренко С.В.

ЛЕКЦИЯ № 1

по дисциплине “Радиотехнические цепи и сигналы”

Ростов-на-Дону

2010

ЛЕКЦИЯ 1

ВВЕДЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИГНАЛОВ

По дисциплине РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ ЦЕПИ И СИГНАЛЫ

Время: 2 часа

Изучаемые вопросы: 1. Предмет, цель и задачи курса

2. Краткий обзор курса, связь с другими дисциплинами

3. Краткая история развития дисциплины

4. Общая методика работы над курсом, виды занятий,

формы отчетности, учебная литература

5 Энергетические характеристики сигнала

6 Корреляционные характеристики детерминированных сигналов

7 Геометрические методы в теории сигналов

8 Теория ортогональных сигналов. Обобщенный ряд Фурье

В данной лекции реализуются следующие элементы квалификационной характеристики:

Студент должен знать основные законы, принципы и методы анализа электрических цепей, а также методы моделирования электрических цепей, схем и устройств.

Студент должен владеть приемами выполнения расчетов цепей в установившемся и переходном режимах.

1. ПРЕДМЕТ И ЗАДАЧИ КУРСА

Предметом изучения дисциплины РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ ЦЕПИ И СИГНАЛЫ являются электромагнитные процессы в линейных и нелинейных радиотехнических цепях, методы расчета цепей в установившемся и переходном режимах, непрерывные и дискретные сигналы и их характеристики.

От практики дисциплина берет объекты исследования - типовые цепи и сигналы, от физики - ее законы электромагнитного поля, от математики - аппарат исследования.

Целью изучения дисциплины является привитие студентам навыка расчета простейших радиотехнических цепей и ознакомление их с современными алгоритмами оптимальной обработки сигналов.

В результате изучения дисциплины каждый студент должен

ИМЕТЬ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ:

О современных алгоритмах оптимальной обработки сигналов;

О тенденциях развития теории радиотехнических цепей и сигналов,

ЗНАТЬ:

Классификацию радиотехнических сигналов;

Временные и спектральные характеристики детерминированных сигналов;

Случайные сигналы, их характеристики, корреляционный и спектральный анализ случайных сигналов;

Дискретные сигналы и их характеристики;

Алгоритмы цифровой обработки сигналов,

УМЕТЬ ИСПОЛЬЗОВАТЬ:

Методы аналитического и численного решения задач прохождения сигналов через линейные и нелинейные цепи;

Методы спектрального и корреляционного анализа детерминированных и случайных сигналов,

ВЛАДЕТЬ:

Приемами измерения основных параметров и характеристик радиотехнических цепей и сигналов;

Приемами анализа прохождения сигналов через цепи,

ИМЕТЬ ОПЫТ:

Исследования прохождения детерминированных сигналов через линейные стационарные цепи, нелинейные и параметрические цепи;

Расчета простейших радиотехнических цепей.

Эксплуатационная направленность подготовки по дисциплине обеспечивается проведением лабораторного практикума, в ходе которого каждому студенту прививаются практические навыки:

Работы с электро- и радиоизмерительными приборами;

Проведения экспресс-анализа нештатных ситуаций в работе фрагментов радиотехнических цепей по результатам измерений.

2 КРАТКИЙ ОБЗОР КУРСА, СВЯЗЬ С ДРУГИМИ ДИСЦИПЛИНАМИ

Дисциплина "Радиотехнические цепи и сигналы" базируется на знан и ях "Математики", "Физики", "Информатики", и обеспечивает усвоение ст у дентами общенаучных и специальных дисциплин, "Метрология и радиоизм е рения", "Устройства генерирования и формирования радиосигналов", "Устройства приема и обработки сигналов", "Основы телевидения и виде о техники", "Статистическая теория радиотехнических систем", "Радиотехн и ческие системы", курсовое и дипломное прое к тирование.

Изучение дисциплины "Радиотехнические цепи и сигналы" развивает у студентов инженерное мышление, готовит их к освоению специальных дисциплин.

Преподавание дисциплины направлено:

На глубокое изучение студентами основных законов, принципов и методов анализа электрических цепей, физической сущности электромагнитных процессов в устройствах радиоэлектроники;

На привитие твердых навыков по анализу установившихся и переходных процессов в цепях, а также по проведению экспериментов с целью определения характеристик и параметров электрических цепей.

Дисциплина состоит из 5 разделов:

1 Сигналы;

2 Прохождение сигналов через линейные цепи;

3 Нелинейные и параметрические цепи;

4 Цепи с обратными связями и автоколебательные цепи

5 Принципы цифровой фильтрации сигналов

3. КРАТКАЯ ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

Возникновение теории электрических и радиотехнических цепей неразрывно связано с практикой: со становлением электротехники, радиотехники и радиоэлектроники. В развитие указанных областей и их теории внесли свой вклад многие отечественные и зарубежные ученые.

Явления электричества и магнетизма были известны человеку давно. Однако лить во второй половине ХУШ века они начали изучаться серьезно, с них стали срываться ореолы таинственности и сверхъестественности.

Уже Михаил Васильевич Ломоносов (1711 - 1765) предполагал, что в природе существует одно электричество и что электрические и магнитные явления органически связаны между собой. Большой вклад в науку об электричестве внес русский академик Франс Эпинус (1724 - 1802).

Бурное развитие учения об электромагнитных явлениях произошло в XIX веке, вызванное интенсивным развитием машинного производства. В это время человечество изобретает для своих практических нужд ТЕЛЕГРАФ, ТЕЛЕФОН, ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ОСВЕЩЕНИЕ, СВАРКУ МЕТАЛЛОВ, ЗЛЕКТРОМАШИННЫЕ ГЕНЕРАТОРЫ и ЭЛЕКТРОДВИГАТЕЛИ.

Укажем в хронологической последовательности наиболее яркие этапы развития учения об электромагнетизме.

В 1785 году французский физик Кулон Шарль Ответ (1736 - 1806) установил закон механического взаимодействия электрических зарядов (закон Кулона) .

В 1819 году датчанин Эрстед Ханс Кристиан (1777 - 1851) обнаружил действие электрического тока на магнитную стрелку, а в 1820 году французский физик Ампер Андре Мари (1775 - 1836) установил количественную меру (силу), действующую со стороны магнитного поля на участок проводника (закон Ампера) .

В 1827 году немецкий физик Ом Георг Симон (1787 - 1854) получил экспериментально связь между тоном и напряжением для участка металлического проводника (закон Ома).

В 1831 году английский физик Фарадей Майкл (1791 - 1867) установил закон электромагнитной индукции, а в 1832 году русский физик Ленц Эмилий Христианович (1804 - 1865) сформулировал принцип общности и обратимости электрических и магнитных явлений.

В 1873 году на основании обобщения экспериментальных данных по электричеству и магнетизму английский ученый Дж. К. Максвелл выдвинул гипотезу существования электромагнитных волн и разработал теорию для их описания.

В 1888 году немецкий физик Герц Генрих Рудольф (1857 - 1894) экспериментально доказал существование излучения электромагнитных волн.

Практическое использование радиоволн впервые осуществил русский ученый Александр Степанович Попов (1859 - 1905), который 7 мая 1895 года продемонстрировал на заседании Русского физико - химического общества передатчик (искровой прибор) и приемник электромагнитных волн (грозоотметчик) .

В конце XIX века в России работали известные инженеры и ученые Лодыгин Александр Николаевич (1847 - 1923), создавший первую в мире лампу накаливания (1873); Яблочков Павел Николаевич (1847 - 1894), разработавший электросвечу (1876); Доливо-Добровольский Михаил Осипович (1861 - 1919), создавший трехфазную систему токов (1889) и основавший современную энергетику.

В XIX веке анализ электрических цепей составлял одну из задач электротехники. Электрические цепи изучались и рассчитывались по чисто физическим законам, описывающим их поведение под действием электрических зарядов, напряжений и токов. Эти физические законы легли в основу теории электрических и радиотехнических цепей.

В 1893 - 1894 годах трудами Ч.Штейнметца и А.Кеннелли был развит так называемый символический метод, который сначала был применен для механических колебаний в физике, а затем перенесен в электротехнику, где комплексные величины стали использоваться для обобщенного представления амплитудно-фазовой картины установившегося синусоидального колебания.

На основе работ Герца (1888), а затем Пупина (1892) по резонансу и настройке RLC-контуров и связанных колебательных систем возникли проблемы определения передаточных характеристик цепей.

В 1889 году А.Кеннелли разработал формально - математический метод эквивалентного преобразования электрических цепей.

Во второй половине XIX века Максвелл и Гельмгольц разработали методы контурных токов и узловых напряжений (потенциалов), которые легли в основу матричных и топологических методов анализа более позднего времени. Весьма важным было определение Гельмгольцем принципа СУПЕРПОЗИЦИИ, т.е. отдельного рассмотрения нескольких простых процессов в одной и той же цепи с последующим алгебраическим суммированием этих процессов в более сложное электрическое явление в той же цепи. Метод суперпозиции позволил теоретически решать большой круг задач, которые до этого считались неразрешимыми и поддавались только эмпирическому рассмотрению.

Следующим существенным шагом в становлении теории электрических и радиотехнических цепей было введение в 1899 году понятия комплексного сопротивления электрической цепи переменному току.

Важным этапом формирования теории электрических и радиотехнических цепей было исследование частотных характеристик цепей. Первые идеи в этом направлении также связаны с именем Гельмгольца, который использовал для анализа принцип суперпозиции и метод гармонического анализа, т.е. применил разложение функции в ряд Фурье.

В конце XIX века были введены понятия Т- и П- образных цепей (их стали называть четырехполюсниками) . Почти одновременно с этим возникло понятие электрических фильтров.

Фундамент современной теории радиотехнических цепей и радиотехники вообще заложили наши соотечественники М.Б.Шулейкин, Б.А.Веденский, А.И.Берг, А.Л.Минц, В.А.Котельников, А.Н.Мандельштамм, Н.Д.Папалекси и многие другие.

4 ОБЩАЯ МЕТОДИКА РАБОТЫ НАД КУРСОМ, ВИДЫ ЗАНЯТИЙ, ФОРМЫ ОТЧЕТНОСТИ, УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА

Изучение дисциплины осуществляется на лекциях, лабораторных и практических занятиях.

Лекции являются одним из важнейших видов учебных занятий и с о ставляют основу теоретического обучения. Они дают систематизированные основы научных знаний по дисциплине, концентрируют внимание обуча е мых на наиболее сложных и узловых вопросах, стимулируют их активную познавательную деятельность, формируют творческое мышление.

На лекциях наряду с фундаментальностью обеспечивается необход и мая степень практической направленности обучения. Изложение материала увязывается с войсковой практикой, конкретными объектами специальной техники, в которых находят применение электрические цепи.

Лабораторные занятия имеют целью обучить студентов методам эк с периментальных и научных исследований, привить навыки научного анализа и обобщения полученных результатов, навыки работы с лабораторным об о рудованием, контрольно-измерительными приборами и вычислительной те х никой.

При подготовке к лабораторным занятиям студенты самостоятельно или (при необходимости) на целевых консультациях изучают соответству ю щий теоретический материал, общий порядок проведения исследований, оформляют бланки отчетов (вычерчивают схему лабораторной установки, необходимые таблицы).

Эксперимент является основной частью лабораторной работы и реал и зуется каждым студентом самостоятельно в соответствии с руководством к лабораторной работе. Перед проведением эксперимента проводится ко н трольный опрос в форме летучки, цель которого - проверка качества подг о товки студентов к лабораторной работе. При этом необходимо обращать внимание на знание теоретического материала, порядка выполнения работы, характер ожидаемых результатов. При приеме отчетов следует учитывать а к куратность оформления, соблюдение студентами требований ЕСКД, нал и чие и правильность необходимых выводов.

Практические занятия проводятся с целью выработки навыков в реш е нии задач, производстве расчетов. Главным их содержанием является пра к тическая работа каждого студента. На практические занятия выносятся зад а чи, имеющие прикладной характер. Повышение уровня компьютерной по д готовки осуществляется на практических занятиях путем выполнения расч е тов с помощью программируемых микрокалькуляторов или персональных ЭВМ. В начале каждого занятия проводится контрольный опрос, цель кот о рого - проверка подготовленности студентов к занятию, а также - активиз а ция их познавательной деятельности.

В процессе усвоения содержания дисциплины у студентов системат и чески формируются методические навыки и навыки самостоятельной работы. Студентам прививаются умения правильно задать вопрос, поставить пр о стейшую задачу, доложить сущность проделанной работы, пользоваться до с кой и наглядными пособиями.

Для привития первичных навыков подготовки и проведения учебных занятий предусматривается привлечение студентов в качестве помощников руководителя лабораторных занятий.

К числу важнейших направлений активизации познавательной де я тельности студентов относится проблемное обучение. Для его реализации с о здаются проблемные ситуации по курсу в целом, по отдельным темам и в о просам, которые реализуются:

С помощью введения новых проблемных понятий с показом того, как исторически они появились и как они применяются;

Путем столкновения студента с противоречиями между новыми явл е ниями и старыми понятиями;

С необходимостью выбора нужной информации;

Использованием противоречий между имеющимися знаниями по р е зультатам решения и требованиями практики;

Предъявлением фактов и явлений, необъяснимых на первый взгляд с

помощью известных законов;

Путем выявления межпредметных связей и связей между явлениями.

В процессе изучении дисциплины предусмотрен контроль усвоения материала на всех практических видах занятий в форме летучек, а по темам 1 и 2 форме двухчасовой контрольной работы.

Для определения качества обучения в целом по дисциплине проводи т ся экзамен. К экзамену допускаются студенты, выполнившие все требования учебной программы, отчитавшиеся о всех лабораторных работах, получи в шие положительные оценки по курсовой работе. Экзамены проводятся в ус т ной форме с необходимыми письменными пояснениями на классной доске (формулы, графики и т.п.). На подготовку каждому студенту предоставляется время не более 30 минут. Для подготовки к ответу студенты могут использ о вать разрешенные начальником кафедры методические и справочные мат е риалы. Подготовка к ответу может осуществляться письменно. Начальник кафедры может освобождать от сдачи экзамена студентов, показавших о т личные знания по результатам текущего контроля, с выставлением им оце н ки "отлично".

Таким образом, дисциплина "Радиотехнические цепи и сигналы" явл я ется системой концентрированных и в то же время достаточно полных и з а вершенных знаний, позволяющих радиоинженеру свободно ориентироваться в важнейших вопросах эксплуатации специальных радиотехнических устройств и систем.

ОСНОВНАЯ УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА:

1. БАСКАКОВ С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. 3-е издание. М.: Высшая школа, 2000 .

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

2. БАСКАКОВ С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. Руководство к решению задач: Учеб. пособие для радиотехн. спец. вузов. - 2-е издание. М.: Высшая шк о ла, 2002.

3. ПОПОВ В.П. Основы теории цепей. Учеб. для вузов.-3-е изд. М.: Высшая шк о ла, 2000 .

5 ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИГНАЛА

Основными энергетическими характеристиками вещественного сигнала являются:

1) мгновенная мощность, определяемая как квадрат мгновенного значения сигнала

Если — напряжение или ток, то — мгновенная мощность, выделяемая на сопротивлении и 1 Ом.

Мгновенная мощность не аддитивна, т. е. мгновенная мощность суммы сигналов не равна сумме их мгновенных мощностей:

2) энергия на интервале времени выражается как интеграл от мгновенной мощности

3) средняя мощность на интервале определяется значением энергии сигнала на этом интервале, отнесенной к единице времени

где.

Если сигнал задан на бесконечном интервале времени, то средняя мощность определяется следующим образом:

Системы передачи информации проектируются так, чтобы информация передавалась с искажениями меньше заданных при минимальной энергии и мощности сигналов.

Энергия и мощность сигналов, определяемые на произвольном интервале времени, могут быть аддитивными, если сигналы на этом интервале времени ортогональны. Рассмотрим два сигнала и, которые заданы на интервале времени . Энергия и мощность суммы этих сигналов выражаются так:

, (1)

. (2)

Здесь, и, — энергия и мощность первого и второго сигналов, — взаимная энергия и взаимная мощность этих сигналов (или энергия и мощность их взаимодействия) . Если выполняются условия

то сигналы и на интервале времени называют ортогональными, и выражения (1) и (2) принимают вид

Понятие ортогональности сигналов обязательно связано с интервалом их определения.

Применительно к комплексным сигналам также пользуются понятиями мгновенной мощности, энергии и средней мощности. Эти величины вводят так, чтобы энергетические характеристики комплексного сигнала были действительными величинами.

1. Мгновенная мощность определяется произведением комплексного сигнала на комплексно-сопряженный сигнал

2. Энергия сигнала на интервале времени по определению равна

3. Мощность сигнала на интервале определяется как

Два комплексных сигнала и, заданные на интервале времени, являются ортогональными, если их взаимная мощность (или энергия) равна нулю.

6 КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ

Одной из важнейших временных характеристик сигнала является автокорреляционная функция (АКФ), позволяющая судить о степени связи (корреляции) сигнала с его сдвинутой по времени копией.

Для вещественного сигнала, заданного на интервале времени и ограниченного по энергии, корреляционная функция определяется следующим выражением:

, (3)

где - величина временного сдвига сигнала.

Для каждого значения автокорреляционная функция выражается некоторой числовой величиной.

Из (3) следует, что АКФ является четной функцией временного сдвига. Действительно, заменяя в (3) переменную на, получим

При сходство сигнала с его несдвинутой копией наибольшее и функция достигает максимального значения, равного полной энергии сигнала

С увеличением функция всех сигналов, кроме периодических, убывает (не обязательно монотонно) и при относительном сдвиге сигналов и на величину, превышающую длительность сигнала, обращается в нуль.

Автокорреляционная функция периодического сигнала сама является периодической функцией с тем же периодом.

Для оценки степени подобия двух сигналов и используется взаимная корреляционная функция (ВКФ), которая определяется выражением

Здесь и — сигналы, заданные на бесконечном интервале времени и обладающие конечной энергией.

Значение не меняется, если вместо задержки сигнала рассматривать опережение первого сигнала.

Автокорреляционная функция является частным случаем ВКФ, когда сигналы и одинаковы.

В отличие от функция в общем случае не является четной относительно и может достигать максимума три любом.

Значение определяет взаимную энергию сигналов и

7 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ СИГНАЛОВ

При решении многих теоретических и прикладных задач радиотехники возникают такие вопросы: 1) в каком смысле можно говорить о величине сигнала, утверждая, например, что один сигнал значительно превосходит другой; 2) можно ли объективно оценивать, насколько два неодинаковых сигнала «похожи» друг на друга?

В XX в. был создан функциональный анализ — раздел математики, обобщающий наши интуитивные представления о геометрической структуре пространства. Оказалось, что идеи функционального анализа дают возможность создать стройную теорию сигналов, в основе которой лежит концепция сигнала как вектора в специальным образом сконструированном бесконечномерном пространстве.

Линейное пространство сигналов. Пусть - множество сигналов. Причина объединения этих объектов — наличие некоторых свойств, общих для всех элементов множества.

Исследование свойств сигналов, образующих такие множества, становится особенно плодотворным тогда, когда удается выражать одни элементы множества через другие элементы. Принято говорить, что множество сигналов наделено при этом определенной структурой. Выбор той или иной структуры должен быть продиктован физическими соображениями. Так, применительно к электрическим колебаниям известно, что они могут складываться, а также умножаться на произвольный масштабный коэффициент. Это дает возможность в множествах сигналов ввести структуру линейного пространства.

Множество сигналов образует вещественное линейное пространство, если справедливы следующие аксиомы:

1. Любой сигнал при любых принимает лишь вещественные значения.

2. Для любых и существует их сумма, причем также содержится в. Операция суммирования коммутативна: и ассоциативна: .

3. Для любого сигнала и любого вещественного числа определен сигнал =.

4. Множество М содержит особый нулевой элемент  , такой, что  для всех.

Если математические модели сигналов принимают комплексные значения, то, допуская в аксиоме 3 умножение на комплексное число, приходим к понятию комплексного линейного пространства.

Введение структуры линейного пространства, является первым шагом на пути к геометрической трактовке сигналов. Элементы линейных пространств часто называют векторами, подчеркивая аналогию свойств этих объектов и обычных трехмерных векторов.

Ограничения, налагаемые аксиомами линейного пространства, весьма жестки. Далеко не каждое множество сигналов оказывается линейным пространством.

Понятие координатного базиса. Как и в обычном трехмерном пространстве, в линейном пространстве сигналов можно выделить специальное подмножество, играющее роль координатных осей.

Говорят, что совокупность векторов { }, принадлежащих, является линейно независимой, если равенство

возможно лишь в случае одновременного обращения в нуль всех числовых коэффициентов.

Система линейно независимых векторов образует координатный базис в линейном пространстве. Если дано разложение некоторого сигнала в виде

то числа {} являются проекциями сигнала относительно выбранного базиса.

В задачах теории сигналов число базисных векторов, как правило, неограниченно велико. Такие линейные пространства называют бесконечномерными. Естественно, что теория этих пространств не может быть вложена в формальную схему линейной алгебры, где число базисных векторов всегда конечно.

Нормированное линейное пространство. Энергия сигнала. Для того чтобы продолжить и углубить геометрическую трактовку теории сигналов, необходимо ввести новое понятие, которое по своему смыслу соответствует длине вектора. Это позволит не только придать точный смысл высказыванию вида «первый сигнал больше второго», но и указать, насколько он больше.

Длину вектора в математике называют его нормой. Линейное пространство сигналов является нормированным, если каждому вектору однозначно сопоставлено число — норма этого вектора, причем выполняются следующие аксиомы нормированного пространства:

1. Норма неотрицательна, т. е. . Норма тогда и только тогда, если  .

2. Для любого числа справедливо равенство.

3. Если и — два вектора из , то выполняется неравенство треугольника: .

Можно предложить разные способы введения нормы сигналов. В радиотехнике чаще всего полагают, что вещественные аналоговые сигналы имеют норму

(4)

(из двух возможных значений корня выбирается положительное). Для комплексных сигналов норма

где * — символ комплексно-сопряженной величины. Квадрат нормы носит название энергии сигнала

Именно такая энергия выделяется в резисторе с сопротивлением 1 Ом, если на его зажимах существует напряжение.

Определять норму сигнала с помощью формулы (4) целесообразно по следующим причинам:

1. В радиотехнике о величине сигнала часто судят, исходя из суммарного энергетического эффекта, например количества теплоты, выделяемой в резисторе.

2. Энергетическая норма оказывается «нечувствительной» к изменениям формы сигнала, может быть, и значительным, но происходящим на коротких отрезках времени.

Линейное нормированное пространство с конечной величиной нормы вида (1.15) носит название пространства функций с интегрируемым квадратом и кратко обозначается.

8 ТЕОРИЯ ОРТОГОНАЛЬНЫХ СИГНАЛОВ. ОБОБЩЕННЫЙ РЯД ФУРЬЕ

Введя во множестве сигналов структуру линейного пространства, определив норму и метрику, мы, тем не менее, лишены возможности вычислить такую характеристику, как угол между двумя векторами. Это удается сделать, сформулировав важное понятие скалярного произведения элементов линейного пространства.

Скалярное произведение сигналов. Напомним, что если в обычном трехмерном пространстве известны два вектора и, то квадрат модуля их суммы

где - скалярное произведение этих векторов, зависящее от угла между ними.

Действуя по аналогии, вычислим энергию суммы двух сигналов и:

. (5)

В отличие от самих сигналов их энергии неаддитивны - энергия суммарного сигнала содержит в себе так называемую взаимную энергию

. (6)

Сравнивая между собой формулы (5) и (6), определим скалярное произведение вещественных сигналов и:

Скалярное произведение обладает свойствами:

1. , где - вещественное число;

Линейное пространство с таким скалярным произведением, полное в том смысле, что оно содержит в себе все предельные точки любых сходящихся последовательностей векторов из этого пространства, называется вещественным гильбертовым пространством.

Справедливо фундаментальное неравенство Коши — Буняковского

Если сигналы принимают комплексные значения, то можно определить комплексное гильбертово пространство, введя в нем скалярное произведение по формуле

такое, что.

Ортогональные сигналы и обобщенные ряды Фурье. Два сигнала и называются ортогональными, если их скалярное произведение, а значит, и взаимная энергия равны нулю:

Пусть — гильбертово пространство сигналов с конечным значением энергии. Эти сигналы определены на отрезке времени, конечном или бесконечном. Предположим, что на этом же отрезке задана бесконечная система функций , ортогональных друг другу и обладающих единичными нормами:

Говорят, что при этом в пространстве сигналов задан ортонормированный базис.

Разложим произвольный сигнал в ряд:

(7)

Представление (7) называется обобщенным рядом Фурье сигнала в выбранном базисе.

Коэффициенты данного ряда находят следующим образом. Возьмем базисную функцию с произвольным номером, умножим на нее обе части равенства (7) и затем проинтегрируем результаты по времени:

. (8)

Ввиду ортонормированности базиса в правой части равенства (8) останется только член суммы с номером, поэтому

Возможность представления сигналов посредством обобщенных рядов Фурье является фактом большого принципиального значения. Вместо того, чтобы изучать функциональную зависимость в несчетном множестве точек, мы получаем возможность характеризовать эти сигналы счетной (но, вообще говоря, бесконечной) системой коэффициентов обобщенного ряда Фурье.

Энергия сигнала, представленного в форме обобщенного ряда Фурье. Рассмотрим некоторый сигнал, разложенный в ряд по ортонормированной базисной системе:

и вычислим его энергию, непосредственно подставив этот ряд в соответствующий интеграл:

(9)

Поскольку базисная система функций ортонормирована, в сумме (9) отличными от нуля окажутся только члены с номерами. Отсюда получается замечательный результат:

Смысл этой формулы таков: энергия сигнала есть сумма энергий всех компонент, из которых складывается обобщенный ряд Фурье.

Старший преподаватель кафедры Радиоэлектроника С. Лазаренко