При усилении электрических сигналов могут возникнуть нелинейные, частотные и фазовые искажения.
Нелинейные искажения представляют собой изменение формы кривой усиливаемых колебаний, вызванное нелинейными свойствами цепи, через которую эти колебания проходят.
Основной причиной появления нелинейных искажений в усилителе является нелинейность характеристик усилительных элементов, а также характеристик намагничивания трансформаторов или дросселей с сердечниками.
Появление искажений формы сигнала, вызванных нелинейностью входных характеристик транзистора, иллюстрируется на графике рис.1. Предположим, что на вход усилителя подан испытательный сигнал синусоидальной формы. Попадая на нелинейный участок входной характеристики транзистора, этот сигнал вызывает изменения входного тока, форма которого отличается от синусоидальной. В связи с этим и выходной ток, а значит, и выходное напряжение изменят свою форму по сравнению с входным сигналом.
Чем больше нелинейность усилителя, тем сильнее искажается им синусоидальное напряжение, подаваемое на вход. Известно (теорема Фурье), что всякая несинусоидальная периодическая кривая может быть представлена суммой гармонических колебаний и высших гармоник. Таким образом, в результате нелинейных искажений на выходе усилителя появляются высшие гармоники, т.е. совершенно новые колебания, которых не было на входе.
Степень нелинейных искажений усилителя обычно оценивают величиной коэффициента нелинейных искажений (коэффициента гармоник )
где
- сумма электрических мощностей,
выделяемых на нагрузке гармониками,
появившимися в результате нелинейного
усиления;
- электрическая мощность первой гармоники.
В тех случаях, когда сопротивление нагрузки имеет одну и ту же величину для всех гармонических составляющих усиленного сигнала, коэффициент гармоник определяется по формуле
,
где
-
и т.д. – действующие или амплитудные
значения первой, второй, третьей и т.д.
гармоник тока на выходе;
и т.д. действующие или амплитудные
значения гармоник выходного напряжения.
Коэффициент
гармоник обычно выражают в процентах,
поэтому найденное по формулам значение
следует умножить на 100. Общая величина
нелинейных искажений, возникающих на
выходе усилителя и созданных отдельными
каскадами этого усилителя, определяется
по приближенной формуле:
где
-
нелинейные искажения вносимые каждым
каскадом усилителя.
Допустимая
величина коэффициента гармоник всецело
зависит от назначения усилителя. В
усилителях контрольно-измерительной
аппаратуры допустимое значение
коэффициента гармоник
составляет десятые доли процента.
Частотные называются искажения , обусловленные изменением величины коэффициента усиления на различных частотах. Причиной частотных искажений является присутствие в схеме реактивных элементов – конденсаторов, катушек индуктивности, междуэлектродных емкостей усилительных элементов, емкости монтажа и т.д.
Для примера на рис. 2 показана амплитудно-частотная характеристика УНЧ.
Рис. 2. Амплитудно-частотная Рис. 3. Фазочастотная характеристика
характеристика УНЧ. усилителя.
При построении амплитудно-частотных характеристик частоту по оси абсцисс удобнее откладывать не в линейном, а в логарифмическом масштабе. Для каждой частоты фактически по оси откладывается величина lg f , а подписывается значение частоты.
Степень
искажений на отдельных частотах
выражается коэффициентом
частотных искажений
М,
равным
отношению коэффициента усиления на
данной частоте
Обычно наибольшие частотные искажения возникают на границах диапазона частот f н и f в. Коэффициенты частотных искажений в этом случае равны
,
где К н и К в – соответственно коэффициенты усиления на нижних и верхних частотах диапазона.
Для усилителей низкой частоты идеальной частотной характеристикой является горизонтальная прямая линия (линия АВ на рис. 2).
где К н и К в - соответственно коэффициенты усиления на нижних и верхних частотах диапазона. Из определения коэффициента частотных искажений следует, что если М > 1, то частотная характеристика в области данной частоты имеет завал, а если М < 1, - то подъем. Для усилителя низкой частоты идеальной частотной характеристикой является горизонтальная прямая (линия АВ на рис. 12.5).
Коэффициент частотных искажений многокаскадного усилителя равен произведению коэффициентов частотных искажений отдельных каскадов
М = М 1 М 2 М 3 . ..М n .
Следовательно, частотные искажения, возникающие в одном каскаде усилителя, могут быть скомпенсированы в другом, чтобы общий коэффициент частотных искажений не выходил за пределы заданного. Коэффициент частотных искажений, так же как и коэффициент усиления, удобно выражать в децибелах:
М ДБ = 20lgМ .
В случае многокаскадного усилителя
М ДБ = М 1 ДБ + М 2 ДБ + М 3 ДБ +…+ М n ДБ
Допустимая величина частотных искажений зависит от назначения усилителя. Для усилителей контрольно-измерительной аппаратуры, например, допустимые искажения определяются требуемой точностью измерения и могут составлять десятые и даже сотые доли децибела.
Следует иметь в виду, что частотные искажения в усилителе всегда сопровождаются появлением сдвига фаз между входным и выходным сигналами, т. е. фазовыми искажениями. При этом под фазовыми искажениями обычно подразумевают лишь сдвиги, создаваемые реактивными элементами усилителя, а поворот фазы самим усилительным элементом во внимание не принимается.
Фазовые искажения, вносимые усилителем, оцениваются по его фазочастотной характеристике, представляющей собой график зависимости угла сдвига фазы φ между входным и выходным напряжениями усилителя от частоты рис. 3. Фазовые искажения в усилителе отсутствуют, когда фазовый сдвиг линейно зависит от частоты. Идеальной фазочастотной характеристикой является прямая, начинающаяся в начале координат – пунктирная линия на рис. 3. Фазочастотная характеристика реального усилителя имеет вид, показанный на рис. 3. сплошной линией.
Основным параметром электронного усилителя является коэффициент усиления К. Коэффициент усиления мощности (напряжения, тока) определяется отношением мощности (напряжения, тока) выходного сигнала к мощности (напряжению, току) входного и характеризует усилительные свойства схемы. Выходной и входной сигналы должны быть выражены в одних и тех же количественных единицах, поэтому коэффициент усиления является безразмерной величиной.
В отсутствие реактивных элементов в схеме, а также при определенных режимах ее работы, когда исключается их влияние, коэффициент усиления является действительной величиной, не зависящей от частоты. В этом случае выходной сигнал повторяет форму входного и отличается от него в К раз только амплитудой. В дальнейшем изложении материала речь пойдет о модуле коэффициента усиления, если нет особых оговорок.
В зависимости от требований, предъявляемых к выходным параметрам усилителя переменного сигнала, различают коэффициенты усиления:
а) по напряжению, определяемый как отношение амплитуды переменной составляющей выходного напряжения к амплитуде переменной составляющей входного, т. е.
б) по току, который определяется отношением амплитуды переменной составляющей выходного тока к амплитуде переменной составляющей входного:
в) по мощности
Так как , то коэффициент усиления по мощности можно определить следующим образом:
При наличии реактивных элементов в схеме (конденсаторов, индуктивностей) коэффициент усиления следует рассматривать как комплексную величину
где m и n - действительная и мнимая составляющие, зависящие от частоты входного сигнала:
Положим, что коэффициент усиления К не зависит от амплитуды входного сигнала. В этом случае при подаче на вход усилителя синусоидального сигнала выходной сигнал также будет иметь синусоидальную форму, но отличаться от входного по амплитуде в К раз и по фазе на угол .
Периодический сигнал сложной формы согласно теореме Фурье можно представить суммой конечного или бесконечно большого числа гармонических составляющих, имеющих разные амплитуды, частоты и фазы. Так как К - комплексная величина, то амплитуды и фазы гармонических составляющих входного сигнала при прохождении через усилитель изменяются по-разному и выходной сигнал будет отличаться по форме от входного.
Искажения сигнала при прохождении через усилитель, обусловленные зависимостью параметров усилителя от частоты и не зависящие от амплитуды входного сигнала, называются линейными искажениями. В свою очередь, линейные искажения можно разделить на частотные (характеризующие изменение модуля коэффициента усиления К в полосе частот за счет влияния реактивных элементов в схеме); фазовые (характеризующие зависимость сдвига по фазе между выходным и входным сигналами от частоты за счет влияния реактивных элементов).
Частотные искажения сигнала можно оценить с помощью амплитудно-частотной характеристики, выражающей зависимость модуля коэффициента усиления по напряжению от частоты. Амплитудно-частотная характеристика усилителя в общем виде представлена на рис. 1.2. Рабочий диапазон частот усилителя, внутри которого коэффициент усиления можно считать с известной степенью точности постоянным, лежит между низшей и высшей граничными частотами и называется полосой пропускания. Граничные частоты определяют уменьшение коэффициента усиления на заданную величину от своего максимального значения на средней частоте .
Введя коэффициент частотных искажений на данной частоте ,
где - коэффициент усиления по напряжению на данной частоте, можно с помощью амплитудно-частотной характеристики определить частотные искажения в любом диапазоне рабочих частот усилителя.
Поскольку наибольшие частотные искажения имеем на границах рабочего диапазона, то при расчете усилителя, как правило, задают коэффициенты частотных искажений на низшей и высшей граничных частотах, т. е.
где - соответственно коэффициенты усиления по напряжению на высшей и низшей граничных частотах.
Обычно принимают , т. е. на граничных частотах коэффициент усиления по напряжению уменьшается до уровня 0,707 значения коэффициента усиления на средней частоте. При таких условиях полоса пропускания усилителей звуковой частоты, предназначенных для воспроизведения речи и музыки, лежит в пределах 30-20 000 Гц. Для усилителей, применяемых в телефонии, допустима более узкая полоса пропускания 300-3400 Гц. Для усиления импульсных сигналов необходимо использовать так называемые широкополосные усилители, полоса пропускания которых располагается в диапазоне частот от десятков или единиц герц до десятков или даже сотен мегагерц.
Для оценки качества усилителя часто пользуются параметром
Для широкополосных усилителей , поэтому
Противоположностью широкополосных усилителей являются избирательные усилители, назначение которых состоит в усилении сигналов в узкой полосе частот (рис. 1.3).
Усилители, предназначенные для усиления сигналов со сколь угодно малой частотой, называются усилителями постоянного тока. Из определения ясно, что низшая граничная частота полосы пропускания такого усилителя равна нулю. Амплитудно-частотная характеристика усилителя постоянного тока дана на рис. 1.4.
Фазочастотная характеристика показывает, как меняется угол сдвига фаз между выходным и входным сигналами при изменении частоты и определяет фазовые искажения.
Фазовые искажения отсутствуют при линейном характере фазочастотной характеристики (пунктирная линия на рис. 1.5), так как в этом случае каждая гармоническая составляющая входного сигнала при прохождении через усилитель сдвигается по времени на один и тот же интервал . Угол сдвига фаз между входным и выходным сигналами при этом пропорционален частоте
где - коэффициент пропорциональности, определяющий угол наклона характеристики к оси абсцисс.
Фазочастотная характеристика реального усилителя представлена на рис. 1.5 сплошной линией. Из рис. 1.5 видно, что в пределах полосы пропускания усилителя фазовые искажения минимальны, однако резко возрастают в области граничных частот.
Если коэффициент усиления зависит от амплитуды входного сигнала, то имеют место нелинейные искажения усиливаемого сигнала, обусловленные наличием в усилителе элементов с нелинейными вольт-амперными характеристиками.
Задавая закон изменения можно проектировать нелинейные усилители с определенными свойствами. Пусть коэффициент усиления определяется зависимостью , где - коэффициент пропорциональности.
Тогда при подаче на вход усилителя синусоидального входного сигнала выходной сигнал усилителя
где - амплитуда и частота входного сигнала.
Первая гармоническая составляющая в выражении (1.6) представляет собой полезный сигнал, остальные являются результатом нелинейных искажений.
Нелинейные искажения можно оценить с помощью так называемого коэффициента гармоник
где - амплитудные значения соответственно мощности, напряжения и тока гармонических составляющих.
Индекс определяет номер гармоники. Обычно учитывают только вторую и третью гармоники, так как амплитудные значения мощностей более высоких гармоник сравнительно малы.
Линейные и нелинейные искажения характеризуют точность воспроизведения формы входного сигнала усилителем.
Амплитудная характеристика четырехполюсников, состоящих только из линейных элементов, при любом значении теоретически является наклонной прямой. Практически же максимальное значение ограничивается электрической прочностью элементов четырехполюсника. Амплитудная характеристика усилителя, выполненного на электронных приборах (рис. 1.6), в принципе нелинейна, однако может содержать участки ОА, где кривая носит приблизительно линейный характер с большой степенью точности. Рабочий диапазон входного сигнала не должен выходить за пределы линейного участка (ОА) амплитудной характеристики усилителя, иначе нелинейные искажения превысят допустимый уровень.
Входного сигнала, к среднеквадратичной сумме спектральных компонентов входного сигнала, иногда используется нестандартизованный синоним - клирфактор (заимств. с нем.). КНИ - безразмерная величина, выражается обычно в процентах. Кроме КНИ уровень нелинейных искажений можно выразить с помощью коэффициента гармонических искажений .
Коэффициент гармонических искажений - величина, выражающая степень нелинейных искажений устройства (усилителя и др.), равная отношению среднеквадратичного напряжения суммы высших гармоник сигнала, кроме первой, к напряжению первой гармоники при воздействии на вход устройства синусоидального сигнала.
Коэффициент гармоник так же как и КНИ выражается в процентах. Коэффициент гармоник (K Г ) связан с КНИ (K Н ) соотношением:
Измерения
- В низкочастотном (НЧ) диапазоне (до 100-200 кГц) для измерения КНИ применяются измерители нелинейных искажений (измерители коэффициента гармоник).
- На более высоких частотах (СЧ, ВЧ) используют косвенные измерения с помощью анализаторов спектра или селективных вольтметров .
Типовые значения КНИ
- 0 % - форма сигнала представляет собой идеальную синусоиду.
- 3 % - форма сигнала отлична от синусоидальной, но искажения не заметны на глаз.
- 5 % - отклонение формы сигнала от синусоидальной заметно на глаз по осциллограмме.
- 10 % - стандартный уровень искажений, при котором считают реальную мощность (RMS) УМЗЧ .
- 21 % - например, сигнал трапецеидальной или ступенчатой формы.
- 43 % - например, сигнал прямоугольной формы.
См. также
Литература
- Справочник по радиоэлектронным устройствам : В 2-х т.; Под ред. Д. П. Линде - М.: Энергия,
- Горохов П. К. Толковый словарь по радиоэлектронике. Основные термины - М: Рус. яз.,
Ссылки
- ОСНОВНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ КАНАЛА ЗВУКОПЕРЕДАЧИ
Wikimedia Foundation . 2010 .
Смотреть что такое "" в других словарях:
коэффициент нелинейных искажений - КНИ Параметр, позволяющий учесть влияние гармоник и комбинационных составляющих на качество сигнала. Численно определяется как отношение мощности нелинейных искажений к мощности неискаженного сигнала, обычно выражается в процентах. [Л.М. Невдяев …
коэффициент нелинейных искажений - 3.9 коэффициент нелинейных искажений (total distortion): Отношение в процентах среднеквадратичного значения спектральных компонент выходного сигнала акустического калибратора, отсутствующих во входном сигнале, к среднеквадратичному значению… …
коэффициент нелинейных искажений - netiesinių iškreipių faktorius statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. non linear distortion factor vok. Klirrfaktor, m rus. коэффициент нелинейных искажений, m pranc. taux de distorsion harmonique, m … Fizikos terminų žodynas
КНИ входного тока ИБП Характеризует отклонения формы входного тока ИБП от синусоидальной. Чем больше значение этого параметра, тем хуже это для оборудования, подключенного к той же питающей сети и самой сети, в этом случае ухудшается… … Справочник технического переводчика
КНИ выходного напряжения ИБП Характеризует отклонения формы выходного напряжения от синусоидальной, обычно приводится для линейной (двигатели, некоторые виды осветительных приборов) и нелинейной нагрузки. Чем выше это значение, тем хуже качество… … Справочник технического переводчика
коэффициент нелинейных искажений усилителя - — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN amplifier distortion factor … Справочник технического переводчика
Коэффициент нелинейных искажений громкоговорителя - 89. Коэффициент нелинейных искажений громкоговорителя Коэффициент нелинейных искажений Ндп. Коэффициент гармоник Выраженный в процентах квадратный корень из отношения суммы квадратов эффективных значений спектральных составляющих, излучаемых… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
Коэффициент нелинейных искажений ларингофона - 94. Коэффициент нелинейных искажений ларингофона Выраженное в процентах значение квадратного корня из отношения суммы квадратов действующих значений гармоник электродвижущей силы, развиваемой ларингофоном при гармоническом движении воздуха, к… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
допустимый коэффициент нелинейных искажений - — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN harmonic tolerance … Справочник технического переводчика
- (измеритель коэффициента гармоник) прибор для измерения коэффициента нелинейных искажений (коэффициента гармоник) сигналов в радиотехнических устройствах. Содержание … Википедия
Коэффицие́нт нелине́йных искаже́ний (КНИ или K Н ) - величина для количественной оценки нелинейных искажений .
Определение [ | ]
Коэффициент нелинейных искажений равен отношению среднеквадратичной суммы спектральных компонент выходного сигнала , отсутствующих в спектре входного сигнала, к среднеквадратичной сумме всех спектральных компонент входного сигнала
K H = U 2 2 + U 3 2 + U 4 2 + … + U n 2 + … U 1 2 + U 2 2 + U 3 2 + … + U n 2 + … {\displaystyle K_{\mathrm {H} }={\frac {\sqrt {U_{2}^{2}+U_{3}^{2}+U_{4}^{2}+\ldots +U_{n}^{2}+\ldots }}{\sqrt {U_{1}^{2}+U_{2}^{2}+U_{3}^{2}+\ldots +U_{n}^{2}+\ldots }}}}КНИ - безразмерная величина и выражается обычно в процентах. Кроме КНИ, уровень нелинейных искажений часто выражают и через коэффициент гармонических искажений (КГИ или K Г ) - величину, выражающую степень нелинейных искажений устройства (усилителя и др.) и равную отношению среднеквадратичного напряжения суммы высших гармоник сигнала, кроме первой, к напряжению первой гармоники при воздействии на вход устройства синусоидального сигнала.
K Γ = U 2 2 + U 3 2 + U 4 2 + … + U n 2 + … U 1 {\displaystyle K_{\Gamma }={\frac {\sqrt {U_{2}^{2}+U_{3}^{2}+U_{4}^{2}+\ldots +U_{n}^{2}+\ldots }}{U_{1}}}}КГИ, так же, как и КНИ, выражается в процентах и связан с ним соотношением
K Γ = K H 1 − K H 2 {\displaystyle K_{\Gamma }={\frac {K_{\mathrm {H} }}{\sqrt {1-K_{\mathrm {H} }^{2}}}}}Очевидно, что для малых значений КГИ и КНИ совпадают в первом приближении. Интересно, что в западной литературе обычно пользуются КГИ, тогда как в отечественной литературе традиционно предпочитают КНИ.
Важно также отметить, что КНИ и КГИ - это лишь количественные меры искажений , но не качественные. Например, значение КНИ (КГИ), равное 3% ничего не говорит о характере искажений, т.е. о том, как в спектре сигнала распределены гармоники, и каков, например, вклад НЧ или ВЧ составляющих. Так, в спектрах ламповых УМЗЧ обычно преобладают низшие гармоники, что часто воспринимается на слух как «тёплый ламповый звук», а в транзисторных УМЗЧ искажения более равномерно распределены по спектру, и он более плоский, что часто воспринимается как «типичный транзисторный звук» (хотя спор этот во многом зависит от личных ощущений и привычек человека).
Примеры расчёта КГИ [ | ]
Для многих стандартных сигналов КГИ может быть подсчитан аналитически. Так, для симметричного прямоугольного сигнала (меандра)
K Γ = π 2 8 − 1 ≈ 0.483 = 48.3 % {\displaystyle K_{\Gamma }\,=\,{\sqrt {{\frac {\,\pi ^{2}}{8}}-1\,}}\approx \,0.483\,=\,48.3\%}Идеальный пилообразный сигнал имеет КГИ
K Γ = π 2 6 − 1 ≈ 0.803 = 80.3 % {\displaystyle K_{\Gamma }\,=\,{\sqrt {{\frac {\,\pi ^{2}}{6}}-1\,}}\approx \,0.803\,=\,80.3\%}а симметричный треугольный
K Γ = π 4 96 − 1 ≈ 0.121 = 12.1 % {\displaystyle K_{\Gamma }\,=\,{\sqrt {{\frac {\,\pi ^{4}}{96}}-1\,}}\approx \,0.121\,=\,12.1\%}Несимметричный прямоугольный импульсный сигнал с соотношением длительности импульса к периоду, равному μ обладает КГИ
K Γ (μ) = μ (1 − μ) π 2 2 sin 2 π μ − 1 , 0 < μ < 1 {\displaystyle K_{\Gamma }\,(\mu)={\sqrt {{\frac {\mu (1-\mu)\pi ^{2}\,}{2\sin ^{2}\pi \mu }}-1\;}}\,\qquad 0<\mu <1} ,который достигает минимума (≈0.483) при μ =0.5, т.е. тогда, когда сигнал становится симметричным меандром. Кстати, фильтрованием можно добиться значительного снижения КГИ этих сигналов, и таким образом получать сигналы, близкие по форме к синусоидальным. Например, симметричный прямоугольный сигнал (меандр) с изначальным КГИ в 48.3%, после прохождения через фильтр Баттерворта второго порядка (с частотой среза, равной частоте основной гармоники) имеет КГИ уже в 5.3%, а если фильтр четвёртого порядка - то КГИ=0.6%. Следует отметить, что чем более сложный сигнал на входе фильтра и чем более сложный сам фильтр (а точнее, его передаточная функция), тем более громоздкими и трудоёмкими будут вычисления КГИ. Так, стандартный пилообразный сигнал, прошедший через фильтр Баттерворта первого порядка, имеет КГИ уже не 80.3% а 37.0%, который в точности даётся следующим выражением
K Γ = π 2 3 − π c t h π ≈ 0.370 = 37.0 % {\displaystyle K_{\Gamma }\,=\,{\sqrt {{\frac {\,\pi ^{2}}{3}}-\pi \,\mathrm {cth} \,\pi \,}}\,\approx \,0.370\,=\,37.0\%}А КГИ того же сигнала, прошедшего через такой же фильтр, но второго порядка, уже будет даваться достаточно громоздкой формулой
K Γ = π c t g π 2 ⋅ c t h 2 π 2 − c t g 2 π 2 ⋅ c t h π 2 − c t g π 2 − c t h π 2 2 (c t g 2 π 2 + c t h 2 π 2) + π 2 3 − 1 ≈ 0.181 = 18.1 % {\displaystyle K_{\Gamma }\,={\sqrt {\pi \,{\frac {\,\mathrm {ctg} \,{\dfrac {\pi }{\sqrt {2\,}}}\cdot \,\mathrm {cth} ^{2\!}{\dfrac {\pi }{\sqrt {2\,}}}-\,\mathrm {ctg} ^{2\!}{\dfrac {\pi }{\sqrt {2\,}}}\cdot \,\mathrm {cth} \,{\dfrac {\pi }{\sqrt {2\,}}}-\,\mathrm {ctg} \,{\dfrac {\pi }{\sqrt {2\,}}}-\,\mathrm {cth} \,{\dfrac {\pi }{\sqrt {2\,}}}\;}{{\sqrt {2\,}}\left(\mathrm {ctg} ^{2\!}{\dfrac {\pi }{\sqrt {2\,}}}+\,\mathrm {cth} ^{2\!}{\dfrac {\pi }{\sqrt {2\,}}}\!\right)}}\,+\,{\frac {\,\pi ^{2}}{3}}\,-\,1\;}}\;\approx \;0.181\,=\,18.1\%}Если же рассматривать вышеупомянутый несимметричный прямоугольный импульсный сигнал, прошедший через фильтр Баттерворта p -го порядка, то тогда
K Γ (μ , p) = csc π μ ⋅ μ (1 − μ) π 2 − sin 2 π μ − π 2 ∑ s = 1 2 p c t g π z s z s 2 ∏ l = 1 l ≠ s 2 p 1 z s − z l + π 2 R e ∑ s = 1 2 p e i π z s (2 μ − 1) z s 2 sin π z s ∏ l = 1 l ≠ s 2 p 1 z s − z l {\displaystyle K_{\Gamma }\,(\mu ,p)=\csc \pi \mu \,\cdot \!{\sqrt {\mu (1-\mu)\pi ^{2}-\,\sin ^{2}\!\pi \mu \,-\,{\frac {\,\pi }{2}}\sum _{s=1}^{2p}{\frac {\,\mathrm {ctg} \,\pi z_{s}}{z_{s}^{2}}}\prod \limits _{\scriptstyle l=1 \atop \scriptstyle l\neq s}^{2p}\!{\frac {1}{\,z_{s}-z_{l}\,}}\,+\,{\frac {\,\pi }{2}}\,\mathrm {Re} \sum _{s=1}^{2p}{\frac {e^{i\pi z_{s}(2\mu -1)}}{z_{s}^{2}\sin \pi z_{s}}}\prod \limits _{\scriptstyle l=1 \atop \scriptstyle l\neq s}^{2p}\!{\frac {1}{\,z_{s}-z_{l}\,}}\,}}}где 0<μ <1 и
z l ≡ exp i π (2 l − 1) 2 p , l = 1 , 2 , … , 2 p {\displaystyle z_{l}\equiv \exp {\frac {i\pi (2l-1)}{2p}}\,\qquad l=1,2,\ldots ,2p}подробности вычислений - см. Ярослав Благушин и Эрик Моро .
Измерения [ | ]
- В низкочастотном (НЧ) диапазоне для измерения КНИ применяются измерители нелинейных искажений (измерители коэффициента гармоник).
- На более высоких частотах (СЧ, ВЧ) используют косвенные измерения с помощью анализаторов спектра или селективных вольтметров .