Неразветвлённая электрическая цепь характеризуется тем, что на всех её участках протекает один и тот же ток, а разветвлённая содержит одну или несколько узловых точек, при этом на участках цепи протекают разные токи.

При расчётах неразветвлённых и разветвлённых линейных электрических цепей постоянного тока могут быть использованы различные методы, выбор которых зависит от вида электрической цепи.

При расчётах сложных электрических цепей во многих случаях целесообразно производить их упрощение путём свертывания, заменяя отдельные участки цепи с последовательным, параллельным и смешанным соединениями сопротивлений одним эквивалентным сопротивлением с помощью метода эквивалентных преобразований электрических цепей.

Рис. 1.1 Рис.1.2

Электрическая цепь с последовательным соединением сопротивлений

(рис. 1.1) заменяется при этом цепью с одним эквивалентным сопротивлением R эк (рис. 1.2), равным сумме всех сопротивлений цепи:

где R 1 , R 2 , R 3 ,…, R n - сопротивления отдельных участков цепи. При этом ток I электрической цепи сохраняет неизменным своё значение, все сопротивления обтекаются одним и тем же током. Напряжения (падения напряжения) на сопротивлениях при их последовательном соединении распределяются пропорционально сопротивлениям отдельных участков:

Рис. 1.3 Рис. 1.4

При параллельном соединении сопротивлений все сопротивления находятся под одним и тем же напряжением U (рис. 1.3). Электрическую цепь, состоящую из параллельно соединённых сопротивлений, целесообразно заменить цепью с эквивалентным сопротивлением R эк (рис. 1.2), которое определяется из выражения:

обратных сопротивлениям участков параллельных ветвей электрической цепи (сумма проводимостей ветвей цепи); R к − сопротивление параллельного участка цепи; q эк − эквивалентная проводимость параллельного участка цепи,

n – число параллельных ветвей цепи. Эквивалентное сопротивление участка цепи, состоящего из одинаковых параллельно соединённых сопротивлений, При параллельном соединении двух сопротивлений R 1 иR 2 эквивалентное coпротивление

а токи распределяются обратно пропорционально их сопротивлениям, при этом U = R 1 I 1 = R 2 I 2 = R 3 I 3 =…= R n I n .

При смешанном соединении сопротивлений (рис. 1.4), т. е. при наличии участков электрической цепи с последовательным и параллельным

соединением сопротивлений, эквивалентное сопротивление (рис. 1.2) цепи

определяется в соответствии с выражением:

Литература. ГОСТ Р 52002 – 2003; с. 15 – 18, 22 − 26;

с. 14 – 17; с. 18 – 23, 25 – 29.

Пример решения

Определитьобщее эквивалентное сопротивление R эк и распределение токов в электрической цепи постоянного тока (рис. 1.5). Сопротивления резисторов R 1 =R 2 =1 Oм ; R 3 =6 Oм ; R 5 =R 6 =1 Oм ; R 4 =R 7 =6 Oм ; R 8 =10 Oм ; R 9 =5 Oм ; R 10 =10 Oм . Напряжение питающей сети U=120 В .

Решение . Сопротивление участка цепи между узлами 1 и 4 :

1" и 3 цепи:

Сопротивление участка между узлами 1"" и 2 цепи:

Эквивалентное сопротивление всей электрической цепи:

Ток в неразветвлённой электрической части цепи:

Напряжение между узлами 1 и 2 цепи в соответствии со II законом Кирхгофа .

Первый закон Кирхгофа

В любом узле электрической цепи алгебраическая сумма токов равна нулю

Второй закон Кирхгофа

В любом замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма ЭДС равна алгебраической сумме падений напряжений на всех его участках

Расчет электрической цепи с использованием законов Кирхгофа. Баланс мощностей

Опираясь на законы Ома и Кирхгофа можно рассчитать абсолютно любую электрическую цепь. Другие методы расчета цепей разработаны исключительно для уменьшения объема требуемых вычислений.

Последовательность действий:

Произвольно назначают направления токов в ветвях.

Произвольно назначают направления обхода контуров.

Записывают У - 1 уравнение по I закону Кирхгофа. (У - число узлов в цепи).

Записывают В - У + 1 уравнение по II закону Кирхгофа. (В - число ветвей в цепи).

Решают систему уравнений относительно токов и уточняют величины падений напряжения на элементах.

Примечания:

При составлении уравнений слагаемые берут со знаком "+" в случае, если направление обхода контура совпадает с направлением падения напряжения, тока или ЭДС. В противном случае со знаком "-".

Если при решении системы уравнений будут получены отрицательные токи, то выбранное направление не совпадает с реальным.

Следует выбирать те контуры, в которых меньше всего элементов.

Правильность расчетов можно проверить, составив баланс мощностей . В электрической цепи сумма мощностей источников питания равна сумме мощностей потребителей:

Следует помнить, что тот или иной источник схемы может не генерировать энергию, а потреблять ее (процесс зарядки аккумуляторов). В таком случае направление тока, протекающего по участку с этим источником, встречное направлению ЭДС. Источники в таком режиме должны войти в баланс мощностей со знаком "-".

Метод контурных токов

Один из методов анализа электрической цепи является метод контурных токов . Основой для него служит второй закон Кирхгофа.

Действительный ток в определенной ветви определяется алгебраической суммой контурных токов, в которую эта ветвь входит. Нахождение действительных токов и есть первоочередная задача метода контурных токов.

1. Произвольно выбираем направления действительных токов I1-I6.

2. Выделяем три контура, а затем указываем направление контурных токов I11,I22,I33. Мы выберем направление по часовой стрелке.

3. Определяем собственные сопротивления контуров. Для этого складываем сопротивления в каждом контуре.

R11=R1+R4+R5=10+25+30= 65 Ом

R22=R2+R4+R6=15+25+35 = 75 Ом

R33=R3+R5+R6=20+30+35= 85 Ом

Затем определяем общие сопротивления, общие сопротивления легко обнаружить, они принадлежат сразу нескольким контурам, например сопротивление R4 принадлежит контуру 1 и контуру 2. Поэтому для удобства обозначим такие сопротивления номерами контуров к которым они принадлежат.

R12=R21=R4=25 Ом

R23=R32=R6=35 Ом

R31=R13=R5=30 Ом

4. Приступаем к основному этапу – составлению системы уравнений контурных токов. В левой части уравнений входят падения напряжений в контуре, а в правой ЭДС источников данного контура.

Так как контура у нас три, следовательно, система будет состоять из трех уравнений. Для первого контура уравнение будет выглядеть следующим образом:

Ток первого контура I11, умножаем на собственное сопротивление R11 этого же контура, а затем вычитаем ток I22, помноженный на общее сопротивление первого и второго контуров R21 и ток I33, помноженный на общее сопротивление первого и третьего контура R31. Данное выражение будет равняться ЭДС E1 этого контура. Значение ЭДС берем со знаком плюс, так как направление обхода (по часовой стрелке) совпадает с направление ЭДС, в противном случае нужно было бы брать со знаком минус.

Те же действия проделываем с двумя другими контурами и в итоге получаем систему:

В полученную систему подставляем уже известные значения сопротивлений и решаем её любым известным способом.

5. Последним этапом находим действительные токи, для этого нужно записать для них выражения.

Контурный ток равен действительному току, который принадлежит только этому контуру . То есть другими словами, если ток протекает только в одном контуре, то он равен контурному.

Но, нужно учитывать направление обхода, например, в нашем случае ток I2 не совпадает с направлением, поэтому берем его со знаком минус.

Токи, протекающие через общие сопротивления определяем как алгебраическую сумму контурных, учитывая направление обхода.

Например, через резистор R4 протекает ток I4, его направление совпадает с направлением обхода первого контура и противоположно направлению второго контура. Значит, для него выражение будет выглядеть

А для остальных

Метод эквивалентных преобразований

Некоторые сложные электрические цепи содержат несколько приемников, но только один источник. Такие цепи могут быть рассчитаны методом эквивалентных преобразований. В основе этого метода лежит возможность преобразования двух последовательно соединенных или параллельно соединенных резисторов R1 и R2 к одному эквивалентному Rэкв.Эквивалентные преобразования в электрической цепи Для определения эквивалентного сопротивления Rэкв следует воспользоваться основными законами электрических цепей. Условием эквивалентного преобразования должно быть сохранение тока и напряжения рассматриваемого участка: I = Iэкв, U = Uэкв. Для исходного участка цепи по II закону Кирхгофа с учетом закона Ома для каждого из двух последовательно соединенных элементов: U = U1 + U2 = R1I + R2I = (R1 + R2)I . Для эквивалентного элемента по закону Ома: Uэкв = Rэкв* Iэкв. С учетом условий эквивалентного преобразования U = Uэкв = (R1 + R2)I = (R1 + R2)Iэкв = Rэкв* Iэкв. Отсюда Rэкв = (R1 + R2). Это соотношение определяет сопротивление элемента, эквивалентного двум последовательно соединенным элементам. Для двух параллельно соединенных элементов по I закону Кирхгофа с учетом закона Ома для каждого из двух параллельно соединенных элементов: I = I1 + I2 = U/R1 + U/R2 = U(1/R1 + 1/R2). Для эквивалентного элемента по закону Ома: Iэкв = Uэкв/Rэкв. С учетом условий эквивалентного преобразования I = Iэкв = U(1/R1 + 1/R2) = Uэкв(1/R1 + 1/R2) = Uэкв/Rэкв, отсюда 1/Rэкв = 1/R1 + 1/R2 (1.59) или Rэкв = (R1 R2)/(R1 + R2). Это соотношение определяет сопротивление элемента, эквивалентного двум параллельно соединенным элементам. Соотношения позволяют проводить поэтапные эквивалентные преобразования сложной электрической цепи с несколькими приемниками и осуществлять расчет такой цепи. При заданных параметрах всех элементов цепи (E, R1, R2, R3) расчет может быть проведен методом эквивалентных преобразований следующим образом. На первом этапе преобразования два параллельно соединенных резистора R1 и R2 заменяются одним эквивалентным с сопротивлением Rэкв12, равным Rэкв12 = (R1* R2)/(R1 + R2). (1.61) При этом образуется эквивалентная цепь, в которой содержатся два резистора Rэкв12 и R3, соединенные последовательно. Напряжение Uab в эквивалент- ной цепи соответствует напряжению Uab в исходной цепи, а ток в эквивалент- ной цепи соответствует току в неразветвленной части исходной цепи. На втором этапе преобразования два последовательно соединенных резистора Rэкв12 и R2 заменяются одним эквивалентным с сопротивлением Rэкв123, равным Rэкв123 = Rэкв12 + R3 . При этом образуется простая эквивалентная цепь, в которой содержится один резистор Rэкв123. Ток в этой цепи соответствует току в неразветвленной части исходной цепи и определяется по закону Ома: I = Uac/ Rэкв123 = E/ Rэкв123 . Дальнейший расчет ведется по закону Ома, следуя по этапам эквивалентных преобразований в обратном порядке. Для эквивалентной цепи: Uab = I* Rэкв12 ; Ubc = I* R3 . Для исходной цепи: I1 = Uab/R1 ; I2 = Uab/R2 .Таким образом, описанный метод эквивалентных преобразований позволяет рассчитать сложную электрическую цепь, не сводя задачу к решению системы уравнений, а путем последовательных вычислений. Однако этот метод применим к цепям, содержащим лишь один источник ЭДС

Довольно часто при анализе линейных резистивных цепей приходится применять метод упрощения. Этот метод состоит в том, что участки электрической цепи заменяются более простыми по структуре, при этом токи и напряжения в не преобразованной части цепи не должны изменяться. При этом необходимо уметь преобразовывать последовательно и параллельно соединенные резистивные элементы, а также соединения треугольником и звездой.

2.1 Последовательное соединение резистивных элементов .

Ток во всех последовательно соединенных элементах один и тот же. Для схемы на рис. 2.1 можно записать

U = (R1 + R2 +...+ RN)I = R Э I, (2.1)

где R Э – эквивалентное сопротивление. .

Как видно из формулы, оно определяется как сумма всех последовательно включенных сопротивлений.

R Э = R1+R2+…+RN. (2.2)

2.2 Параллельное соединение резистивных элементов.

В схеме (рис. 2.2) ко всем элементам приложено одно и то же напряжение U, а ток разветвляется (I = I 1 + I 2 +...+ I n), поэтому можно записать:

(2.3)

Вводя понятие проводимости G=1/R, получим:

I = U(G 1 + G 2 +...+ G n) = UG э. (2.4)

Таким образом, эквивалентная проводимость G э параллельно включенных резистивных элементов равна сумме их проводимостей. В частном случае, если параллельно соединены два резистора, их эквивалентное сопротивление

2.3. Соединения треугольником и звездой

Во многих случаях оказывается целесообразным также преобразование сопротивлений, соединенных треугольником (рис.2.3) и эквивалентной звездой (рис.2.4).

Рис. 2.3 Рис. 2.4

Сопротивления лучей эквивалентной звезды определяют по формулам:

(2.8)

(2.9)

(2.10)

где R 1 , R 2 , R 3 – сопротивления лучей эквивалентной звезды сопротивлений, а R 12 , R 23 , R 31 – сопротивления сторон эквивалентного треугольника сопротивлений.

При замене звезды сопротивлений эквивалентным треугольником сопротивлений, сопротивления сторон треугольника рассчитывают по следующим формулам:

(2.11)

(2.12)

(2.13)

2.4 Примеры решения задач

2.1. Для электрической цепи постоянного тока с параллельным соединением резисторов R 1 , R 2 , R 3 (рис.2.5)определить ток I в неразветвленной её части и токи в отдельных ветвях: I 1 , I 2 , I 3 . Сопротивления резисторов: R 1 =5Ом, R 2 =10Ом, R 3 =15Ом, напряжение питающей сети U =110В.

Рис. 2.5

Решение. Эквивалентную проводимость всей цепи определим следующим образом:

Ток в неразветвленной части электрической цепи:

Токи в ветвях схемы:

2.2. Для условий задачи 2.1 ток в неразветвленной части цепи I =22A. Определить токи I 1 , I 2 , I 3 в ветвях резисторов R 1 , R 2 , R 3 .

Решение. Проводимости отдельных участков электрической цепи:

.

Эквивалентная проводимость цепи:

Напряжение между узловыми точками:

Токи в ветвях резисторов:

2.3. Для цепи постоянного тока, приведенной на рис.2.6, определить общий ток I и токи I 1 , I 2 , I 3 , I 4 в ветвях резисторов R 1 …R 4 . к цепи подведено напряжение U =240В, сопротивления резисторов R 1 =20Ом, R 2 =15Ом, R 3 =10Ом, R 4 =5Ом.

Решение. Эквивалентное сопротивление участка электрической цепи с резисторами R 1 и R 2 :

Эквивалентное сопротивление участка цепи с резисторами R 3 и R 4 :

Общее сопротивление цепи:

Общий ток в цепи:

Рис.2.6

Падение напряжения на параллельных участках цепи:

,

Токи в ветвях соответствующих резисторов:

2.4. Соединение элементов электрической цепи по схемам «звезда» и «треугольник»

В электротехнических и электронных устройствах элементы цепи соединяются по мостовой схеме (рис. 1.12). Сопротивления R 12 , R 13 , R 24 , R 34 включены в плечи моста, в диагональ 1–4 включен источник питания с ЭДС Е, другая диагональ 3–4 называется измерительной диагональю моста.

Рис. 1.12

Рис. 1.13

В мостовой схеме сопротивления R 13 , R 12 , R 23 и R 24 , R 34 , R 23 соединены по схеме «треугольник». Эквивалентное сопротивление этой схемы можно определить только после замены одного из треугольников, например треугольника R 24 R 34 R 23 звездой R 2 R 3 R 4 (рис. 1.13). Такая замена будет эквивалентной, если она не вызовет изменения токов всех остальных элементов цепи. Для этого величины сопротивлений звезды должны рассчитываться по следующим соотношениям:

; ; .

Для замены схемы «звезда» эквивалентным треугольником необходимо рассчитать сопротивления треугольника:

; ; .

После проведенных преобразований (рис. 1.13) можно определить величину эквивалентного сопротивления мостовой схемы (рис. 1.12)

.

2.5. Задачи для самостоятельного решения

2.4. Для электрической цепи постоянного тока (рис.2.7) определить токи I 1 , I 2 , I 3 при напряжении U =240В и сопротивление резистора R 1 . Сопротивление резисторов: R 2 =10Ом, R 3 =15Ом. Мощность потребляемая цепью, измеряемая ваттметром W , равна 7,2кВт.

Рис.2.7

2.5. Для разветвленной электрической цепи постоянного тока, представляемой на рис.2.7, определить токи I 1 , I 2 , I 3 при напряжении питающей сети U =80В. Сопротивление резисторов: R 1 =10Ом, R 2 =15Ом, R 3 =10Ом.

2.6. Контрольное задание

Определить эквивалентное сопротивление R экв электрической цепи постоянного тока (рис.2.8) и распределение токов в ветвях. Положение выключателя S 1 , величины сопротивлений резисторов R 1 …R 12 и питающего напряжения U для каждого из вариантов задания приведены в таблице 2.1.

Рис. 2.8

Таблица 2.1

Величина	Вариант задания
R 1 , Ом
R 2 , Ом
R 3 , Ом
R 4 , Ом
R 5 , Ом
R 6 , Ом
R 7 , Ом
R 8 , Ом
R 9 , Ом
R 10 , Ом
R 11 , Ом
R 12 , Ом
U , В
S 1

Продолжение таблицы 2.1

Величина	Вариант задания
R 1 , Ом
R 2 , Ом
R 3 , Ом
R 4 , Ом
R 5 , Ом
R 6 , Ом
R 7 , Ом
R 8 , Ом
R 9 , Ом
R 10 , Ом
R 11 , Ом
R 12 , Ом
U , В
S 1

Электрическая цепь с последовательным соединением сопротив-лений (рисунок 1.3, а) заменяется при этом цепью с одним эквива-лентным сопротивлением Rэк (рисунок 1.3, б), равным сумме всех сопротивлений цепи:

Rэк = R1 + R2 +…+ Rn = , (1.5)

где R1, R2 … Rn - сопротивления отдельных участков цепи.

Рисунок 1.3 Электрическая цепь с последовательным соединением сопротивлений

При этом ток I в электрической цепи сохраняет неизменным свое значение, все сопротивления обтекаются одним и тем же током. Напряжения (падения напряжения) на сопротивлениях при их последовательном соединении распределяются пропорционально сопротивлениям отдельных участков:

U1/R1 = U2/R2 = … = Un/Rn.

При параллельном соединении сопротивлений все сопро-тивления находятся под одним и тем же напряжением U (рисунок 1.4). Электрическую цепь, состоящую из параллельно соединенных сопротивлений, целесообразно заменить цепью с эквивалентным сопротивлением Rэк, которое опре-деляется из выражения

где - сумма величин, обратных сопротивлениям участков параллель-ных ветвей электрической цепи;

Rj - сопротивление параллельного участка цепи;

n - число параллельных ветвей цепи.

Рисунок 1.4 Электрическая цепь с параллельным соединением сопротивлений

Эквивалентное сопротивление участка цепи, состоящего из одинаковых парал-лельно соединенных сопротивлений, равно Rэк = Rj/n. При параллельном соединении двух сопротивлений R1 и R2 эквивалентное сопротивление определяется как

а токи распределяются обратно пропорционально этим сопротивлениям, при этом

U = R1I1 = R2I2 = … = RnIn.

При смешанном соединении сопротивлений, т.е. при наличии участков электрической цепи с последовательным и параллельным соединением сопротивлений, эквивалентное сопротивление цепи определяется в соответствии с выражением

Во многих случаях оказывается целесообразным также преобразование сопротивлений, соединенных треугольником (рисунок 1.5), эквивалентной звездой (рисунок 1.5).

Рисунок 1.5 Электрическая цепь с соединением сопротивлений треугольником и звездой

При этом сопротивления лучей эквивалентной звезды определяют по формулам:

R1 = ; R2 = ; R3 = ,

где R1, R2, R3 - сопротивления лучей эквивалентной звезды сопротивлений;

R12, R23, R31 - сопротивления сторон эквивалентного треугольни-ка сопротивлений. При замене звезды сопротивлений эквивалентным треугольником сопротивлений, сопротивления его рассчитывают по формулам:

R31 = R3 + R1 + R3R1/R2; R12 = R1 + R2 + R1R2/R3; R23 = R2 + R3 + R2R3/R1.

Цель лекции №3.

Ознакомившись с данной лекцией, студенты должны знать:

Цель преобразования электрических цепей.

Четко различать участки с последовательным и параллельным соединениями при рассмотрении смешанного соединения проводов.

Уметь преобразовывать соединение треугольник в эквивалентную звезду и обратно.

Уметь преобразовать источник напряжения в источник тока и обратно.

Преобразование схем электрических цепей.

Целью преобразования электрических цепей является их упрощение, это необходимо для простоты и удобства расчета.

Одним из основных видов преобразования электрических схем является преобразование схем со смешанным соединением элементов. Смешанное соединение элементов – это совокупность последовательных и параллельных соединений, которые и будут рассмотрены в начале данной лекции.

Последовательное соединение.

На рис. 3-1 изображена ветвь электрической цепи, в которой последовательно включены сопротивления R 1 , R 2 ,…,R n . Через все эти сопротивления проходит один и тот же ток I. Напряжения на отдельных участках цепи обозначим через U 1 , U 2 ,…, U n .

Рис. 3-1 Последовательное соединение.

По ЗНК напряжение на ветви

U=U 1 +U 2 +…+U n = IR 1 +IR 2 +…+IR n =I (R 1 +R 2 +…R n)=IRэкв. (1)

Сумма сопротивлений всех участков данной ветви

Называется эквивалентным последовательным сопротивлением.

Поскольку напряжения, которые падают на отдельных сопротивлениях, пропорциональны этим сопротивлениям, можно сказать, что последовательно включенные сопротивления образуют «делитель напряжения». Понятие делителя напряжения широко используется в технике.

Параллельное соединение.

На рис. 3-2 изображена схема электрической цепи с двумя узлами, между которыми включено n параллельных ветвей с проводимостями G 1 , G 2 ,…, G n . Напряжение между узлами U, оно одинаково для всех ветвей.

Рис.3-2 Параллельное соединение (показать преобразованное).

По ЗТК общий то равен сумме токов отдельных ветвей:

I=I 1 +I 2 +…+I n =G 1 U+G 2 U+…+G n U=U (G 1 +G 2 +…+G n)=UGэкв. (2)

Сумма проводимостей всех ветвей, соединенных параллельно

называется эквивалентной проводимостью .

В случае параллельного сопротивления двух ветвей (n=2) обычно пользуются выражениями, в которые входят сопротивления
и
.

Эквивалентное сопротивление двух параллельно соединенных ветвей равно:

. (3)

Поскольку общий ток делится на отдельные токи ветвей пропорционально проводимостям этих ветвей (или, что тоже самое, обратно пропорционально сопротивлениям этих ветвей), можно сказать, что параллельно включенные сопротивления образуют «делитель токов». Понятие делителя токов используется в технике.

Часто при использовании «ручного» расчета электрических цепей необходимо определить, как ток разделяется по отдельным ветвям параллельно соединенных ветвей.

Из формулы (2) следует, что токи ветвей, соединенных параллельно, пропорциональны проводимостям этих ветвей, т.е. токи делятся по ветвям пропорционально сопротивлениям этих ветвей, или, что тоже самое, обратно пропорционально сопротивлениям этих ветвей.

В случае двух параллельно соединенных сопротивления их общее сопротивление (2) равно:

, тогда суммарный ток I , протекающий по этому эквивалентному сопротивлению, создаст напряжение U , равное:

, чтобы найти ток I 1 в сопротивлении R 1 , необходимо разделить выражение на R 1 , а чтобы найти ток I 2 в сопротивлении R 2 найти разделить выражение на R 2:

Полученные выражения для токов иногда называют «правилом плеч», которое гласит: ток делится между параллельно включенными сопротивлениями (в делителе токов) обратно пропорционально этим сопротивлениям.

(4)

Смешанное соединение.

На рис.3-3 показано смешанное соединение электрической цепи:

Рис.3-3 Смешанное соединение.

Эта схема легко приводится к одноконтурной. Сопротивления R 5 и R 6 включены параллельно, поэтому необходимо вычислить эквивалентное сопротивление данного участка по формуле

Для понимания полученного результата можно изобразить промежуточную схему (рис. 3-4).

Сопротивления R 3 , R 4 и R / экв. соединены последовательно, и эквивалентное сопротивление участка c-e-f-d равно:

R экв. =R 3 + R экв. ′ + R 4 .

После этого этапа преобразований схема приобретает вид рис. 3-5.

Затем находим эквивалентное сопротивление участка c-d и суммируем его с сопротивлением R 1 . Общее эквивалентное сопротивление равно:

.

Полученное сопротивление эквивалентно сопротивлению (рис. 3-6) исходной схемы со смешанным соединением. Понятие “эквивалентно” означает, что напряжение U на входных зажимах и ток I входной ветви остаются неизменными на протяжении всех преобразований.

Преобразование треугольника в эквивалентную звезду.

Преобразованием треугольника в эквивалентную звезду называется такая замена части цепи, соединенной по схеме треугольником, цепью, соединенной по схеме звезды, при которой токи и напряжения в остальной части цепи сохраняются неизменными.

Т.е., под эквивалентностью треугольника и звезды понимается то, что при одинаковых напряжениях между одноименными зажимами токи, входящие в одноименные выводы, одинаковы.

Рис. 3-7. Преобразование треугольника в звезду.

Пусть R 12 ; R 23 ; R 31 - сопротивления сторон треугольника;

R 1 ; R 2 ; R 3 - сопротивления лучей звезды;

I 12 ; I 23 ; I 31 - токи в ветвях треугольника;

I 1 ; I 2 ; I 3 - токи, подходящие к зажимам 1, 2, 3.

Выразим токи в ветвях треугольника через подходящие токи I 1 , I 2 , I 3 .

По закону напряжений Кирхгофа сумма падений напряжений в контуре треугольника равна нулю:

I 12 R 12 +I 23 R 23 +I 31 R 31 =0

По закону токов Кирхгофа для узлов 1 и 2

I 31 =I 12 +I 1 ; I 23 =I 12 +I 2

При решении этих уравнений относительно I 12 получим:

Напряжение между точками 1 и 2 схемы треугольника:

Напряжение между этими же точками схемы звезды равно:

U 12 =I 1 R 1 - I 2 R 2 .

Т.к. речь идет об эквивалентном преобразовании, то необходимо равенство напряжений между данными точками двух схем, т.е.

Это возможно при условии:

(5)

Третье выражение получено в результате круговой замены индексов.

Исходя из выражения (5) формулируется следующее правило:

Сопротивление луча звезды равно произведению сопротивлений сторон треугольника, прилегающих к этому лучу, деленному на сумму сопротивлений трех сторон треугольника.

Преобразование звезды в эквивалентный треугольник.

При переходе от звезды к треугольнику известными являются сопротивления R 1 , R 2 , R 3 лучей звезды. Значения сопротивлений треугольника определяются в результате совместного решения уравнений (5):

(6)

Сопротивление стороны треугольника равно сумме сопротивлений прилегающих лучей звезды и произведения их, деленного на сопротивление третьего луча.